Porte logiche e tabelle di verità

Una variabile logica può valere solo $0$ o $1$ . Le porte logiche sono i componenti che combinano queste variabili: prendono uno o più ingressi e producono un’uscita, sempre secondo la stessa regola. Tutta l’elettronica digitale, dal contatore al processore, è fatta di queste tre.

Le tre porte fondamentali

Simboli di NOT, AND e OR con le rispettive espressioni

Il comportamento di una porta si descrive con la tabella di verità: si elencano tutte le combinazioni possibili degli ingressi e per ognuna si scrive l’uscita.

NOT (negazione) — inverte:

A	Y = $\overline{A}$
0	1
1	0

AND (prodotto logico) — l’uscita è 1 solo se entrambi gli ingressi sono 1:

A	B	Y = $A \cdot B$
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

OR (somma logica) — l’uscita è 1 se almeno uno degli ingressi è 1:

A	B	Y = $A + B$
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

I simboli $+$ e $\cdot$ si leggono come in aritmetica, ma non lo sono. La differenza sta tutta nell’ultima riga della OR:

\underbrace{1 + 1 = 1}_{\text{somma logica}} \qquad\neq\qquad \underbrace{1 + 1 = 10}_{\text{somma binaria}}

Nell’algebra di Boole non esiste il riporto: il risultato è una variabile logica, e può valere solo $0$ o $1$ . La OR risponde alla domanda “almeno uno è vero?”, non “quanti sono veri?”.

Con $n$ ingressi le righe della tabella sono $2^n$ : due ingressi danno 4 righe, tre ne danno 8. Conviene scriverle in ordine binario crescente (00, 01, 10, 11): così sei sicuro di non saltarne nessuna, ed è il conteggio della lezione sul binario applicato qui.

Leggere un circuito logico

Un circuito combinatorio si legge dagli ingressi verso l’uscita, dando un nome all’uscita di ogni porta man mano che si procede.

Circuito logico: una AND fra A e B, la cui uscita entra in una OR insieme a C

La AND riceve $A$ e $B$ , quindi la sua uscita vale $A \cdot B$ . Quell’uscita entra nella OR insieme a $C$ , quindi:

Y = (A \cdot B) + C

Questa è la sintesi della funzione logica a partire dal circuito. La tabella di verità si costruisce poi meccanicamente, valutando l’espressione per tutte le $2^3 = 8$ combinazioni.

Non provare a leggere tutto il circuito in un colpo solo. Etichetta l’uscita di ogni porta e sostituisci a ritroso: un circuito con dieci porte si risolve con dieci passaggi banali, mentre tentare di scrivere l’espressione finale a mente è dove si sbaglia.

Le porte universali: NAND e NOR

Sono la AND e la OR seguite da una negazione — nel simbolo si riconoscono dal pallino sull’uscita:

\text{NAND}: \; Y = \overline{A \cdot B} \qquad\qquad \text{NOR}: \; Y = \overline{A + B}

Si chiamano universali perché con la sola NAND (o la sola NOR) si può realizzare qualunque funzione logica, comprese NOT, AND e OR. Nella pratica industriale conta: un’unica famiglia di componenti basta a costruire tutto.

Esercizio. Dato il circuito della figura, con $Y = (A \cdot B) + C$ :

Scrivi la tabella di verità completa.
Per quante combinazioni l’uscita vale 1?
Cosa succede all’uscita se $C = 1$ , qualunque siano $A$ e $B$ ?

Mostra la soluzione

Punto 1. Tre ingressi, quindi $2^3 = 8$ righe, in ordine binario crescente. Calcolo prima la colonna intermedia $A \cdot B$ , poi la OR con $C$ :

A	B	C	$A \cdot B$	$Y = (A\cdot B) + C$
0	0	0	0	0
0	0	1	0	1
0	1	0	0	0
0	1	1	0	1
1	0	0	0	0
1	0	1	0	1
1	1	0	1	1
1	1	1	1	1

La colonna intermedia non è facoltativa: è quella che rende meccanico il resto.

Punto 2. Contando gli 1 nell’ultima colonna: 5 combinazioni su 8.

Punto 3. Se $C = 1$ , la OR ha già un ingresso a 1, quindi l’uscita è 1 indipendentemente da tutto il resto:

Y = (A \cdot B) + 1 = 1

Si vede anche nella tabella: tutte e quattro le righe con $C = 1$ hanno $Y = 1$ .

Verifica. È una proprietà generale dell’algebra di Boole, $X + 1 = 1$ , e vale la pena ricordarla perché serve continuamente a semplificare le espressioni: un ingresso a 1 su una OR “decide” da solo l’uscita, esattamente come uno 0 su una AND.