Quando la memoria serve: dal combinatorio al sequenziale

Fino a qui l’uscita di una rete dipendeva solo dagli ingressi presenti in quel momento: fissata la combinazione, l’uscita è decisa. È il significato stesso di tabella di verità, ed è il motivo per cui una rete combinatoria si può sempre scrivere come una tabella.

Il primo impianto vero rompe questa regola, e la rompe subito.

Il caso

Un serbatoio con due sensori di livello, una pompa che lo riempie e una valvola che lo scarica.

Serbatoio con due sensori di livello: A in basso e B in alto, la pompa P che immette liquido dall'alto e la valvola V che scarica dal basso

I dati del problema:

i sensori $A$ e $B$ valgono 1 quando sono immersi, 0 quando sono all’asciutto;
$A$ sta più in basso di $B$ ;
la pompa $P$ si accende con un 1 in uscita, la valvola $V$ pure.

E la specifica di funzionamento, in due fasi:

Riempimento — la pompa parte quando il livello è sotto $A$ (serbatoio vuoto) e continua finché il liquido, salendo, raggiunge $B$ (serbatoio pieno).

Svuotamento — da pieno, il serbatoio può essere scaricato. Un nuovo riempimento è ammesso solo quando il livello torna sotto $A$ .

L’ipotesi che regge tutto il ragionamento: durante il riempimento non si preleva liquido.

Senza di essa il livello potrebbe scendere mentre la pompa è accesa, e le due fasi non sarebbero più distinguibili dal verso di marcia del livello. È scritta nel testo del problema, ma è il tipo di riga che si salta leggendo — ed è l’unica che rende la soluzione qui sotto corretta.

Prima prova: la tabella di verità

Due sensori, quindi quattro combinazioni. Proviamo a riempirla come si è sempre fatto.

$A$	$B$	livello	$P$
0	0	sotto entrambi: vuoto	1
0	1	—	—
1	0	fra i due sensori	?
1	1	sopra entrambi: pieno	0

Le righe estreme non danno problemi: vuoto si riempie, pieno si ferma. Le altre due sì, e per motivi diversi fra loro.

Riga $A=0,\ B=1$ . Il sensore alto immerso mentre quello basso è all’asciutto: il liquido dovrebbe stare sopra $B$ e sotto $A$ contemporaneamente. Non può succedere, e la casella si lascia libera — è una condizione di indifferenza: qualunque valore ci si metta, la realtà non la produrrà mai.

Riga $A=1,\ B=0$ . Qui il liquido sta a metà, e questa situazione si verifica eccome: ci si passa due volte, una salendo e una scendendo.

La contraddizione

Due serbatoi affiancati allo stesso livello: in quello di sinistra il liquido sale e la pompa deve restare accesa, in quello di destra scende e la pompa deve restare spenta

Salendo, la specifica dice continua fino a $B$ : quindi $P = 1$ . Scendendo, dice nuovo riempimento solo sotto $A$ : quindi $P = 0$ .

\underbrace{A = 1,\ B = 0 \;\rightarrow\; P = 1}_{\text{durante il riempimento}} \qquad\text{e}\qquad \underbrace{A = 1,\ B = 0 \;\rightarrow\; P = 0}_{\text{durante lo svuotamento}}

Non è un errore di compilazione della tabella: sono le due richieste della specifica, tradotte correttamente. La tabella non riesce a contenerle.

Nessuna rete combinatoria realizza questo impianto. Non è che non l’abbiamo ancora trovata: non esiste. Una rete combinatoria, per definizione, associa a ogni combinazione di ingressi una sola uscita — e qui la stessa combinazione ne pretende due.

Se leggendo una specifica trovi la stessa combinazione di ingressi con due uscite diverse, hai appena dimostrato che il problema è sequenziale.

Impossibile e ambiguo non sono la stessa cosa, anche se in tabella lasciano tutti e due la casella vuota.

\underbrace{A=0,\ B=1}_{\text{non accade mai}} \qquad\neq\qquad \underbrace{A=1,\ B=0}_{\text{accade, e serve un'altra informazione}}

La prima è un dono: la si riempie come fa comodo per semplificare. La seconda è il problema: riempirla “come fa comodo” produce un impianto che sbaglia metà delle volte, e sbaglia in modo intermittente — il caso peggiore da diagnosticare.

Che cosa manca

Manca il verso di marcia: il livello sta salendo o sta scendendo? Quell’informazione non è leggibile dai sensori adesso. Dipende da com’è andata prima.

Il pezzo mancante ha un nome: stato. Lo stato è ciò che resta della storia passata e che serve a decidere il presente — niente di più. Non serve sapere da quanti minuti la pompa gira né quante volte il serbatoio è stato riempito: basta sapere in quale delle due fasi ci si trova.

Una rete che tiene conto dello stato si chiama rete sequenziale:

\underbrace{\text{uscita} = f(\text{ingressi})}_{\text{combinatoria}} \qquad\longrightarrow\qquad \underbrace{\text{uscita} = f(\text{ingressi},\ \text{stato})}_{\text{sequenziale}}

Il diagramma degli stati

Quando gli stati sono pochi conviene disegnarli. Ogni stato è un cerchio, ogni transizione una freccia con sopra la condizione che la fa scattare.

Diagramma a due stati: riempimento con pompa accesa e svuotamento con valvola aperta, collegati da una transizione quando B vale 1 e da una transizione di ritorno quando A vale 0

Si legge così:

nello stato riempimento la pompa è accesa; finché $B = 0$ ci si resta;
quando $B$ diventa 1 (pieno) si passa a svuotamento;
nello stato svuotamento la pompa è spenta; finché $A = 1$ ci si resta;
quando $A$ torna a 0 (vuoto) si rientra in riempimento.

A un diagramma completo manca ancora un pezzo, e ci si accorge solo provando a usarlo: da dove si parte? Lo stato iniziale si marca con una freccia che entra nel cerchio dal nulla, e non è un dettaglio grafico: all’accensione l’impianto deve pur stare da qualche parte, e quale sia è una scelta di progetto, non qualcosa che si scopre. Qui la scelta prudente è partire in svuotamento — il perché è nella lezione sul ladder, che all’accensione dedica una sezione intera.

La stessa cosa in forma di tabella, che è ciò che si usa quando gli stati diventano troppi per stare in un disegno:

stato attuale	$A$	$B$	stato prossimo	$P$	$V$
riempimento	0	0	riempimento	1	0
riempimento	1	0	riempimento	1	0
riempimento	1	1	svuotamento	0	1
svuotamento	1	1	svuotamento	0	1
svuotamento	1	0	svuotamento	0	1
svuotamento	0	0	riempimento	1	0

Le uscite in tabella sono quelle dello stato prossimo, non di quello attuale. Sulle due righe di transizione la pompa ha già cambiato valore: appena $B$ arriva a 1, $P$ va a 0 — non al giro dopo.

Non è una finezza di notazione: è come si comporta l’impianto vero — appena il sensore di pieno commuta, la pompa si spegne subito, non un giro dopo. Questo basta per leggere la tabella; la prova formale arriva nella lezione sul ladder, dove la rete che realizza questo impianto è $P = \overline{B}\,(\overline{A} + P)$ : con $A=1,\ B=1$ dà $0\cdot(0+1) = 0$ nello stesso ciclo di scansione in cui il sensore commuta. Se la tabella dicesse $P=1$ su quella riga, descriverebbe un impianto diverso da quello che poi si costruisce.

Leggendo la tabella tieni quindi l’occhio sulla colonna stato prossimo: è lei che comanda le uscite. La convenzione opposta — uscite decise dal solo stato attuale — esiste ed è altrettanto legittima, ma va detta, perché cambia il comportamento di un ciclo.

La riga che prima era irrisolvibile ora compare due volte — una per stato — con uscite diverse e senza nessuna contraddizione. Aggiungere lo stato non è un trucco per aggirare la tabella: è allargarla con la colonna che le mancava.

E come si realizza, uno stato?

Con due stati basta un bit di memoria. E il bit si può ricavare da quello che già c’è: se la pompa è accesa, siamo in riempimento; se è spenta, in svuotamento. Lo stato coincide con l’uscita.

Da qui la mossa che risolve il problema: rileggere la propria uscita come se fosse un ingresso. Il come si vede nella lezione sul linguaggio ladder, dove questo schema ha un nome preciso — autoritenuta — e due righe di disegno.

Esercizio.

Un nastro trasportatore ha un pulsante di marcia $M$ e uno di arresto $S$ . Premuti e rilasciati, il nastro deve restare com’era. Il problema è combinatorio o sequenziale? Perché?
Nel serbatoio, quante combinazioni di sensori restano ambigue se i sensori diventano tre ( $A$ basso, $C$ centrale, $B$ alto), con la stessa specifica a due fasi?
Scrivi la tabella delle transizioni di un semaforo a tre stati (verde → giallo → rosso → verde) comandato da un unico ingresso $T$ che vale 1 quando il tempo dello stato è scaduto.
Perché nel diagramma del serbatoio non esiste una freccia diretta da riempimento a riempimento passando per $B = 1$ ?

Mostra la soluzione

1. Sequenziale. Con entrambi i pulsanti rilasciati ( $M = 0$ , $S = 0$ ) il nastro deve poter essere sia fermo sia in marcia: stessi ingressi, due uscite. È esattamente il criterio visto sopra. Lo stato qui è “il nastro sta andando”, e non è leggibile dai pulsanti.

2. Restano ambigue due combinazioni. Con tre sensori le configurazioni fisicamente possibili sono quattro, ordinate dal basso:

(0,0,0) \quad (1,0,0) \quad (1,1,0) \quad (1,1,1)

La prima e l’ultima sono i due estremi e decidono da sole; le due intermedie si attraversano sia salendo sia scendendo, quindi restano ambigue entrambe.

Il numero di sensori non elimina l’ambiguità: la sposta soltanto. È un buon indizio che il problema non fosse di misura ma di informazione mancante.

stato attuale	$T$	stato prossimo
verde	0	verde
verde	1	giallo
giallo	0	giallo
giallo	1	rosso
rosso	0	rosso
rosso	1	verde

Le uscite sono le tre lampade, ognuna accesa nel proprio stato.

4. Perché $B = 1$ è la condizione che definisce il cambio di fase: se ci fosse anche una freccia che riporta a riempimento, con lo stesso ingresso il sistema avrebbe due destinazioni diverse e il diagramma tornerebbe ambiguo come la tabella di partenza.

Verifica. Il controllo che smaschera un diagramma sbagliato è questo: da ogni stato, le condizioni scritte sulle frecce uscenti devono essere mutuamente esclusive e coprire tutti i casi possibili. Da riempimento escono $B=0$ (resta) e $B=1$ (va a svuotamento): esclusive ✓, esaustive ✓. Da svuotamento escono $A=1$ e $A=0$ : idem ✓. Se due frecce dallo stesso stato possono essere vere insieme, il sistema è indeterminato; se una combinazione non compare su nessuna, il sistema si blocca quando quella si presenta.