Il sistema binario e le conversioni fra basi

Un circuito digitale sa distinguere due stati e basta: tensione alta o bassa, interruttore chiuso o aperto. Non è una limitazione da aggirare — è il motivo per cui i circuiti digitali sono affidabili. Un disturbo che sposta un segnale da 5 V a 4,2 V non cambia niente, perché entrambi restano “alto”. Su questa scelta si costruisce tutto il resto.

Il valore di una cifra dipende dal posto

Anche in decimale, $327$ non è “tre, due, sette”: è

$$3 \cdot 10^2 + 2 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$$

La base dice di quanto cresce il peso spostandosi di una posizione a sinistra. In base 2 i pesi sono le potenze di 2, e le cifre disponibili sono solo $0$ e $1$:

$$1011_2 = \underbrace{1 \cdot 2^3}_{8} + \underbrace{0 \cdot 2^2}_{0} + \underbrace{1 \cdot 2^1}_{2} + \underbrace{1 \cdot 2^0}_{1} = 11_{10}$$

Convertire da una base qualsiasi a decimale è sempre questo: somma pesata. Vale identico in base 8 (pesi $8^n$) e in base 16 (pesi $16^n$, con le cifre A–F che valgono 10–15).

Da decimale a binario: divisioni successive

Si divide ripetutamente per 2 tenendo i resti, e si legge dal basso verso l’alto:

$$\begin{aligned} 25 : 2 &= 12 \quad \text{resto } 1 \\ 12 : 2 &= 6 \quad\; \text{resto } 0 \\ 6 : 2 &= 3 \quad\; \text{resto } 0 \\ 3 : 2 &= 1 \quad\; \text{resto } 1 \\ 1 : 2 &= 0 \quad\; \text{resto } 1 \end{aligned} \qquad\Longrightarrow\qquad 25_{10} = 11001_2$$

Ottale ed esadecimale: la scorciatoia

Qui c’è un regalo: $8 = 2^3$ e $16 = 2^4$, quindi una cifra ottale vale esattamente tre bit e una cifra esadecimale esattamente quattro. Non serve passare dal decimale: basta raggruppare i bit partendo da destra.

$$\underbrace{1101}_{\text{D}}\;\underbrace{0110}_{6} {}_2 = \text{D6}_{16} \qquad\qquad \underbrace{011}_{3}\;\underbrace{010}_{2}\;\underbrace{110}_{6} {}_2 = 326_8$$

Se i bit non bastano a completare il gruppo più a sinistra, si aggiungono zeri davanti — non cambiano il valore, come lo zero in $007$.

Bit, byte e multipli

Un bit è una cifra binaria. Otto bit formano un byte, che può quindi rappresentare $2^8 = 256$ valori diversi (da 0 a 255).

In generale, con $n$ bit si rappresentano $2^n$ configurazioni: 10 bit → 1024, 16 bit → 65 536.

Addizione binaria

Funziona come in decimale, con il riporto: l’unica differenza è che si riporta già a 2, non a 10.

$$0+0 = 0 \qquad 0+1 = 1 \qquad 1+0 = 1 \qquad 1+1 = 10 \;\text{(cioè 0 con riporto di 1)}$$ $$\begin{array}{r} 1011 \\ +\; 0110 \\ \hline 10001 \end{array} \qquad\text{verifica: } 11 + 6 = 17 \;✓$$