Il moto circolare uniforme

Un corpo che gira su una circonferenza con velocità costante in modulo sembra il moto più tranquillo che ci sia. In realtà è accelerato, e capire perché è il punto di tutta la lezione.

Le grandezze angolari

Invece dello spazio percorso si usa l’angolo descritto, e invece della velocità la velocità angolare:

\omega = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} \qquad [\text{rad/s}]

Il moto è periodico, quindi tornano periodo e frequenza, con le stesse relazioni del regime alternato:

T = \frac{2\pi}{\omega} \qquad f = \frac{1}{T} \qquad \omega = 2\pi f

Il legame con la velocità lungo la traiettoria (tangenziale) è:

v = \omega\,r

A parità di velocità angolare, più sei lontano dal centro più vai veloce. È il motivo per cui sulla giostra il posto esterno è quello che dà l’impressione di velocità, pur girando nello stesso tempo di quello interno: stesso $\omega$ , ma $r$ maggiore.

L’accelerazione centripeta

Punto su una traiettoria circolare con la velocità tangente e l'accelerazione centripeta diretta verso il centro

L’accelerazione misura la variazione del vettore velocità, non del suo modulo. Nel moto circolare il modulo resta costante ma la direzione cambia in continuazione: quindi c’è accelerazione.

a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r

È diretta verso il centro — da cui il nome — e in ogni istante è perpendicolare alla velocità.

Velocità costante in modulo non significa accelerazione nulla. È il fraintendimento più comune della cinematica, e nasce dal confondere il vettore con il suo modulo.

|\vec{v}| = \text{costante} \qquad\ne\qquad \vec{v} = \text{costante}

Se l’accelerazione fosse nulla il moto sarebbe rettilineo uniforme: il corpo andrebbe dritto. È proprio $a_c$ a curvarne la traiettoria, e infatti se sparisce — la fune si spezza — il corpo prosegue in linea retta tangente, non verso l’esterno.

Accelerazione tangenziale

Se anche il modulo della velocità cambia (il moto non è più uniforme), compare una seconda componente, questa volta lungo la traiettoria:

a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t}

Le due componenti sono perpendicolari fra loro, quindi l’accelerazione totale si compone con Pitagora:

a = \sqrt{a_c^2 + a_t^2}

Esercizio. Una ruota di raggio $0{,}40\ \text{m}$ compie 300 giri al minuto.

Calcola frequenza, periodo e velocità angolare.
Calcola la velocità di un punto sul bordo.
Calcola l’accelerazione centripeta di quel punto.

Mostra la soluzione

Punto 1. 300 giri al minuto sono 5 giri al secondo:

f = \frac{300}{60} = 5\ \text{Hz} \qquad T = \frac{1}{5} = 0{,}2\ \text{s}

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 5 \approx 31{,}4\ \text{rad/s}

Punto 2.

v = \omega r = 31{,}4 \cdot 0{,}40 \approx 12{,}6\ \text{m/s}

Punto 3. Con una delle due forme, indifferentemente:

a_c = \omega^2 r = 31{,}4^2 \cdot 0{,}40 \approx 394\ \text{m/s}^2

Verifica. Ricontrollo con l’altra formula: $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{12{,}6^2}{0{,}40} \approx 397\ \text{m/s}^2$ ✓ (la differenza è solo arrotondamento). E l’ordine di grandezza ha senso: quasi 40 volte $g$ , ed è il motivo per cui le parti rotanti veloci devono essere robuste.