Urti ed esplosioni — filoconduttore

Durante un urto le forze in gioco sono enormi, durano pochi millisecondi e nessuno le conosce. Eppure gli esercizi sugli urti si risolvono — e si risolvono senza sapere niente di quelle forze. Il motivo è che le forze interne, per il terzo principio, si presentano sempre a coppie uguali e opposte: sommate su tutto il sistema, si annullano.

Il caso

Un vagone di 3,0 kg che viaggia a 4,0 m/s ne tampona uno di 1,0 kg fermo, e i due restano agganciati. A che velocità procedono dopo?

Non serve sapere quanto vale la forza dell’aggancio né quanto dura: basta che sul sistema dei due vagoni insieme non agiscano forze esterne apprezzabili.

La regola

\sum \vec{F}_{\text{esterne}} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec{p}_{\text{iniziale}} = \vec{p}_{\text{finale}}

In un sistema isolato la quantità di moto totale si conserva. E basta anche una condizione più debole, che è quella che gli esercizi usano davvero: durante l’urto le forze esterne — gravità, attrito — ci sono, ma agiscono per un $\Delta t$ così breve che il loro impulso è trascurabile rispetto alla quantità di moto scambiata nell’urto — cioè al $\Delta p$ di uno dei due corpi, non a quello totale, che è proprio la quantità che stiamo dicendo essere nulla (il criterio $mg\,\Delta t \ll \lvert\Delta p\rvert$ della lezione sull’impulso). È questo che autorizza il metodo a due fasi che chiude la lezione: conservare $p$ nell’istante dell’urto anche quando il sistema, su tempi lunghi, isolato non è — un pendolo che poi risale, un blocco che poi striscia. Applicata al caso:

m_1 v_1 + m_2 v_2 = (m_1 + m_2)\,v_f

3{,}0 \cdot 4{,}0 + 0 = 4{,}0 \cdot v_f \quad\Longrightarrow\quad v_f = \frac{12}{4{,}0} = 3{,}0\ \text{m/s}

I tre casi

Confronto fra urto elastico, urto completamente anelastico ed esplosione: prima e dopo, con cosa si conserva in ciascun caso

tipo di urto	quantità di moto	energia cinetica	dopo l’urto
elastico	si conserva	si conserva	i corpi si separano
anelastico	si conserva	in parte dissipata	si separano
completamente anelastico	si conserva	dissipata al massimo	procedono insieme
esplosione	si conserva	aumenta	il corpo si divide

La quantità di moto si conserva in tutti i casi; l’energia cinetica no. È l’unica frase da ricordare: quello che distingue i tipi di urto non è $p$ — è che fine fa $K$ .

Nell’urto anelastico l’energia se ne va in calore e deformazione. Nell’esplosione arriva dall’interno (una molla, una carica), quindi $K$ cresce: l’energia non si crea, era immagazzinata.

Non scrivere la conservazione dell’energia cinetica in un urto anelastico.

\underbrace{m_1v_1 + m_2v_2 = (m_1+m_2)v_f}_{\text{vera: i corpi restano uniti}} \qquad\neq\qquad \underbrace{\tfrac{1}{2}m_1v_1^2 + \tfrac{1}{2}m_2v_2^2 = \tfrac{1}{2}(m_1+m_2)v_f^2}_{\text{falsa: l'energia si è dissipata}}

Attenzione a leggere bene la prima: la quantità di moto si conserva sempre, ma scritta con una sola $v_f$ comune descrive il caso in cui i corpi procedono insieme. Negli urti in cui si separano il secondo membro ha due velocità distinte, $m_1v_{1f} + m_2v_{2f}$ .

Imporre anche la seconda porta a una conclusione sola: $v_1 = v_2$ , cioè i due corpi viaggiavano già alla stessa velocità e l’urto non è avvenuto. Il segnale d’allarme, in un compito, è un esercizio che “non torna” pur avendo applicato due leggi entrambe giuste.

L’urto elastico frontale

Qui valgono entrambe le conservazioni, e il sistema che ne esce è di secondo grado. Risolverlo ogni volta è una perdita di tempo: combinando le due equazioni si ottiene una relazione lineare, molto più comoda.

v_{1i} + v_{1f} = v_{2i} + v_{2f}

Detta a parole: la velocità relativa si inverte. I due corpi si allontanano con la stessa rapidità con cui si erano avvicinati.

Nel caso particolare in cui il secondo corpo è fermo ( $v_{2i} = 0$ ), risolvendo si trova:

v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\,v_{1i} \qquad v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2}\,v_{1i}

Due letture immediate di queste formule:

se $m_1 = m_2$ : $v_{1f} = 0$ e $v_{2f} = v_{1i}$ — si scambiano le velocità (il biliardo);
se $m_2 \gg m_1$ : $v_{1f} \approx -v_{1i}$ — il corpo leggero rimbalza indietro quasi con la stessa velocità (una pallina contro un muro).

Le esplosioni

Sono un urto al contrario: un corpo fermo si divide. La quantità di moto iniziale è nulla, quindi quella finale deve esserlo:

0 = m_1\vec{v}_{1f} + m_2\vec{v}_{2f} \quad\Longrightarrow\quad m_1\vec{v}_{1f} = -\,m_2\vec{v}_{2f}

I due pezzi partono in versi opposti, e il più leggero è il più veloce: è il rinculo di un cannone, il salto di due pattinatori che si spingono, il gas espulso da un razzo.

\lvert v_1 \rvert = \frac{m_2}{m_1}\,\lvert v_2 \rvert

Quando un esercizio combina un urto con un’altezza o una compressione, il metodo è spezzarlo in due fasi: la quantità di moto per l’urto (che dura un istante), l’energia per il prima e per il dopo (salita, molla, attrito). Usare l’energia durante l’urto anelastico è l’errore; usarla prima o dopo è quasi sempre la chiave.

Esercizio.

Un corpo di 2,0 kg a 6,0 m/s urta in modo completamente anelastico un corpo di 4,0 kg fermo. Calcola la velocità finale e l’energia cinetica dissipata.
Due biglie di uguale massa: la prima arriva a 3,0 m/s, la seconda è ferma. L’urto è elastico: quali sono le velocità finali?
Un corpo di 5,0 kg inizialmente fermo esplode in due pezzi: uno di 2,0 kg parte a 6,0 m/s. Calcola la velocità dell’altro.
Un cannone di 1500 kg spara un proiettile di 5,0 kg a 300 m/s. Calcola la velocità di rinculo.

Mostra la soluzione

1. Conservazione della quantità di moto:

2{,}0 \cdot 6{,}0 = (2{,}0 + 4{,}0)\,v_f \quad\Longrightarrow\quad v_f = \frac{12}{6{,}0} = 2{,}0\ \text{m/s}

Energia cinetica prima e dopo:

K_i = \tfrac{1}{2}\cdot 2{,}0 \cdot 6{,}0^2 = 36\ \text{J} \qquad K_f = \tfrac{1}{2}\cdot 6{,}0 \cdot 2{,}0^2 = 12\ \text{J}

Dissipata: $36 - 12 = 24\ \text{J}$ , cioè due terzi del totale.

2. Masse uguali con bersaglio fermo: si scambiano le velocità.

v_{1f} = \frac{m-m}{2m}\cdot 3{,}0 = 0 \qquad v_{2f} = \frac{2m}{2m}\cdot 3{,}0 = 3{,}0\ \text{m/s}

La prima si ferma, la seconda riparte a 3,0 m/s.

3. L’altro pezzo ha massa $5{,}0 - 2{,}0 = 3{,}0$ kg. Da $0 = m_1v_1 + m_2v_2$ :

v_2 = -\frac{2{,}0 \cdot 6{,}0}{3{,}0} = -4{,}0\ \text{m/s}

Il segno meno dice il verso: opposto al primo pezzo.

4. Stessa struttura:

v_{\text{cannone}} = -\frac{5{,}0 \cdot 300}{1500} = -1{,}0\ \text{m/s}

Verifica. Nel punto 1 l’energia dissipata deve essere positiva e minore di $K_i$ : 24 J su 36 J ✓. Se in un urto anelastico ti esce $K_f > K_i$ , hai sbagliato un conto — l’energia può solo diminuire, a meno che qualcosa dentro al sistema la stesse immagazzinando (ed è l’esplosione, non l’urto).