La dinamica rotazionale — filoconduttore

Tutta la dinamica vista finora tratta i corpi come punti. Un corpo rigido però può anche ruotare su sé stesso, e serve un secondo set di grandezze — costruito in perfetta analogia col primo.

traslazione	rotazione
massa $m$	momento d’inerzia $I$
velocità $v$	velocità angolare $\omega$
forza $F$	momento della forza $M$
quantità di moto $p = mv$	momento angolare $L = I\omega$
$F = ma$	$M = I\alpha$

L’analogia è il modo più economico di imparare questa parte: ogni formula nuova è una vecchia con i simboli sostituiti.

Il momento d’inerzia

I = \sum_i m_i\,r_i^2

È l’equivalente rotazionale della massa: misura quanto un corpo si oppone a essere messo in rotazione. Ma a differenza della massa non è una proprietà del solo corpo: dipende da come la massa è distribuita rispetto all’asse.

Nella formula la distanza è al quadrato: la massa lontana dall’asse pesa molto più di quella vicina. Un anello e un disco della stessa massa hanno momenti d’inerzia diversi, e il disco — che ha massa concentrata verso il centro — è più facile da far girare.

È lo stesso motivo per cui la pattinatrice accelera raccogliendo le braccia: non cambia massa, cambia $I$ .

Il momento angolare

Per un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso:

L = I\,\omega

In generale, per un punto materiale, si definisce con un prodotto vettoriale:

\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}

e come ogni vettore va descritto con tre cose:

modulo: $|\vec L| = r\,p\,\sin\alpha$ ;
direzione: perpendicolare sia a $\vec r$ sia a $\vec p$ ;
verso: regola della mano destra.

Il momento angolare non punta nel verso del moto: punta lungo l’asse di rotazione. Un corpo che gira in un piano orizzontale ha $\vec L$ verticale.

È controintuitivo, ed è la ragione per cui una ruota di bicicletta in rotazione “resiste” a essere inclinata: cambiare l’inclinazione significa cambiare la direzione di $\vec L$ , e serve un momento per farlo.

La conservazione

Se il momento delle forze esterne è nullo, il momento angolare si conserva:

M_{est} = 0 \quad\Longrightarrow\quad L = I\omega = \text{costante}

Da cui la pattinatrice: raccogliendo le braccia riduce $I$ , e siccome il prodotto deve restare costante, $\omega$ aumenta.

L’energia cinetica di un corpo che rotola

Un corpo che rotola senza strisciare fa due cose insieme: trasla il suo centro di massa e ruota attorno ad esso. L’energia cinetica è la somma dei due contributi:

E_k = \underbrace{\frac12\,m\,v_{cm}^2}_{\text{traslazione}} + \underbrace{\frac12\,I_{cm}\,\omega^2}_{\text{rotazione}}

È qui che si sbaglia nei problemi di corpi che rotolano lungo un piano inclinato: usando la sola $\frac12 m v^2$ si ottiene una velocità troppo grande, perché si sta ignorando l’energia finita nella rotazione.

Con la conservazione dell’energia, $mgh$ non va tutto in traslazione:

mgh = \frac12 m v^2 + \frac12 I\omega^2

Ed è il motivo per cui, lasciati cadere lungo lo stesso scivolo, un cilindro arriva dopo un blocco che scivola senza attrito: parte della sua energia sta girando.

Nel rotolamento puro vale inoltre il vincolo $v_{cm} = \omega R$ , che permette di eliminare un’incognita.

Esercizio. Un disco di massa $m = 2{,}0\ \text{kg}$ e raggio $R = 0{,}30\ \text{m}$ ( $I_{cm} = \frac12 mR^2$ ) rotola senza strisciare a $v_{cm} = 3{,}0\ \text{m/s}$ .

Calcola il momento d’inerzia e la velocità angolare.
Calcola le due parti dell’energia cinetica e il totale.
Che frazione dell’energia è rotazionale?

Mostra la soluzione

Punto 1.

I = \frac12 \cdot 2{,}0 \cdot 0{,}30^2 = 0{,}09\ \text{kg}\cdot\text{m}^2

Dal vincolo di rotolamento:

\omega = \frac{v_{cm}}{R} = \frac{3{,}0}{0{,}30} = 10\ \text{rad/s}

Punto 2.

E_{tras} = \frac12 \cdot 2{,}0 \cdot 3{,}0^2 = 9{,}0\ \text{J}

E_{rot} = \frac12 \cdot 0{,}09 \cdot 10^2 = 4{,}5\ \text{J}

E_k = 9{,}0 + 4{,}5 = 13{,}5\ \text{J}

Punto 3.

\frac{4{,}5}{13{,}5} = \frac13 \approx 33\%

Verifica. Per un disco che rotola la frazione rotazionale è sempre un terzo, indipendentemente da massa, raggio e velocità: sostituendo $I = \frac12 mR^2$ e $\omega = v/R$ si ottiene $E_{rot} = \frac14 mv^2$ , cioè metà di $E_{tras}$ . Se il tuo conto dà una frazione diversa per un disco, c’è un errore.