Forze conservative e dissipative

La conservazione dell’energia meccanica vale solo in assenza di attrito. È una condizione che nella realtà non si verifica quasi mai, e questa lezione dice cosa fare quando cade.

Conservative o no

Una forza è conservativa se il lavoro che compie non dipende dal percorso, ma solo dal punto di partenza e da quello di arrivo. Equivalentemente: su un percorso chiuso compie lavoro nullo.

conservative	non conservative (dissipative)
forza peso	attrito
forza elastica	resistenza dell’aria
forza elettrica	forze di trascinamento

Il test pratico: porta il corpo in giro e riportalo dov’era.

Con la sola forza peso il bilancio è zero — quello che perdi salendo lo riguadagni scendendo. Con l’attrito no: hai speso energia in entrambi i tratti, e non torna indietro. Per questo alle conservative si può associare un’energia potenziale, alle dissipative no.

Il bilancio generale

Se agiscono solo forze conservative:

E_{m,i} = E_{m,f} \qquad\text{cioè}\qquad \frac12 m v_i^2 + mgh_i = \frac12 m v_f^2 + mgh_f

Quando compaiono forze non conservative, l’energia meccanica non si conserva — ma la differenza non sparisce: è esattamente il lavoro che quelle forze hanno compiuto.

L_{F_{nc}} = E_{m,f} - E_{m,i} = \Delta E_m

o, riscritto nella forma che si usa nei problemi:

E_{m,f} = E_{m,i} + L_{F_{nc}}

$L_{F_{nc}}$ è negativo quando la forza non conservativa è l’attrito, perché si oppone sempre al moto ( $\cos 180° = -1$ ).

E_{m,f} = E_{m,i} + \underbrace{L_{F_{nc}}}_{<\,0} \quad\Longrightarrow\quad E_{m,f} < E_{m,i}

Se in un esercizio con attrito ti viene un’energia finale maggiore di quella iniziale, il segno è sbagliato: l’attrito non può regalare energia.

Il caso del carrello che si ferma

L’esempio che chiarisce tutto: un carrello parte con velocità $v_0$ su un piano orizzontale ( $h = 0$ , quindi niente energia potenziale) e l’attrito lo ferma.

All’inizio ha solo energia cinetica; alla fine $v_f = 0$ , quindi $E_{m,f} = 0$ . Il bilancio dà:

L_{F_{att}} = 0 - \frac12 m v_0^2 = -\frac12 m v_0^2

Il lavoro dell’attrito è tutta l’energia cinetica iniziale, col segno meno. Non è sparita: è diventata calore.

Da qui si ricava anche la distanza di arresto, uguagliando al lavoro dell’attrito $L = -\mu m g\,d$ :

-\mu m g\,d = -\frac12 m v_0^2 \qquad\Longrightarrow\qquad d = \frac{v_0^2}{2\mu g}

La massa si semplifica, e la distanza dipende dal quadrato della velocità: a velocità doppia, spazio di frenata quadruplo.

Esercizio. Uno slittino di massa $m = 20\ \text{kg}$ parte da fermo in cima a uno scivolo alto $h = 5{,}0\ \text{m}$ e arriva in fondo con velocità $v_f = 8{,}0\ \text{m/s}$ .

Calcola l’energia meccanica iniziale e finale.
Quanto vale il lavoro delle forze di attrito?
Quale sarebbe stata la velocità in assenza di attrito?

Mostra la soluzione

Punto 1. In cima, fermo: solo potenziale.

E_{m,i} = mgh = 20 \cdot 9{,}81 \cdot 5{,}0 \approx 981\ \text{J}

In fondo, $h = 0$ : solo cinetica.

E_{m,f} = \frac12 \cdot 20 \cdot 8{,}0^2 = 640\ \text{J}

Punto 2. Il lavoro delle non conservative è la variazione di energia meccanica:

L_{F_{nc}} = 640 - 981 = -341\ \text{J}

Negativo, come dev’essere ✓ — 341 J sono finiti in calore.

Punto 3. Senza attrito tutta l’energia potenziale diventa cinetica:

mgh = \frac12 m v^2 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \cdot 9{,}81 \cdot 5{,}0} \approx 9{,}9\ \text{m/s}

Verifica. La velocità senza attrito ( $9{,}9$ m/s) deve essere maggiore di quella reale ( $8{,}0$ m/s) ✓. E nota che nel punto 3 la massa si semplifica: la velocità ideale di discesa non dipende da quanto pesa lo slittino, mentre l’energia dissipata sì.