Fluidi in movimento: portata e Bernoulli

Finché il fluido sta fermo bastano il peso e la profondità. Appena si muove entra in gioco l’energia — e due leggi che sembrano controintuitive: dove il tubo si stringe il fluido va più veloce, e proprio lì la pressione è più bassa.

Il caso

Un tubo si restringe: a monte ha raggio doppio rispetto alla strozzatura. Dove l’acqua corre di più? E dove preme di più sulle pareti?

Tubo con una strozzatura: sezione larga con velocità bassa, sezione stretta con velocità alta

La portata e l’equazione di continuità

La portata è quanto fluido passa nell’unità di tempo:

Q = A\,v \qquad \left[\frac{\text{m}^3}{\text{s}}\right] = [\text{m}^2]\cdot\left[\frac{\text{m}}{\text{s}}\right]

Se il fluido è incomprimibile e il tubo non perde, quello che entra deve uscire: la portata è la stessa in ogni sezione.

A_1 v_1 = A_2 v_2

È l’equazione di continuità, e spiega il primo fatto: dove la sezione si dimezza la velocità raddoppia.

Se il tubo è circolare, dimezzare il raggio non dimezza l’area: la divide per quattro.

A = \pi r^2 \quad\Longrightarrow\quad v_1\,\pi r_1^2 = v_2\,\pi r_2^2 \quad\Longrightarrow\quad v_2 = v_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{\!2}

Il raggio entra al quadrato. Con $r_2 = \frac{r_1}{2}$ la velocità non raddoppia: si quadruplica. È l’errore che fa sbagliare per un fattore 2 quasi tutti gli esercizi sui tubi.

L’equazione di Bernoulli

Applicare la conservazione dell’energia a un fluido in movimento, alla stessa quota, dà — per un fluido incomprimibile e non viscoso, in moto stazionario:

p_1 + \tfrac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \tfrac{1}{2}\rho v_2^2

Ogni termine è un’energia per unità di volume: $p$ fa la parte del lavoro delle forze di pressione, $\frac{1}{2}\rho v^2$ quella dell’energia cinetica. Se il condotto cambia anche quota, si aggiunge il termine di energia potenziale $\rho g h$ .

Le ipotesi non sono pignoleria: in un tubo reale orizzontale a sezione costante Bernoulli direbbe pressione uguale ovunque, mentre la pressione cala lungo il flusso — se la conservazione parlasse da sola, l’attrito viscoso la smentirebbe. La formula descrive il fluido ideale; per acqua e aria su tratti brevi è un’ottima approssimazione.

Riscritta come differenza, dice quanto cala la pressione dove il fluido accelera:

\Delta p = p_1 - p_2 = \tfrac{1}{2}\rho\left(v_2^2 - v_1^2\right)

Dove il fluido va più veloce, la pressione è più bassa. Sembra il contrario del buon senso — “corre di più, quindi spinge di più” — ma la spinta in avanti e la pressione sulle pareti sono due cose diverse: la somma delle due energie è costante, quindi se cresce la parte cinetica deve calare quella di pressione.

È il principio del tubo di Venturi (una strozzatura calibrata che misura la portata leggendo il calo di pressione), dello spruzzino che pesca il liquido dal basso, e delle due navi affiancate che tendono ad attrarsi.

Vale anche sull’ala di un aereo — sopra l’aria corre più veloce, quindi preme di meno — ma attenzione a non giustificarlo dicendo che “l’aria sopra deve fare più strada nello stesso tempo”: non è vero, e infatti l’aria che passa sopra arriva in fondo molto prima di quella sotto.

La velocità di efflusso

Un serbatoio aperto, con un foro piccolo rispetto alla sezione del serbatoio a profondità $h$ sotto il pelo libero: finché il livello scende lentamente, il fluido che esce ha la stessa velocità che avrebbe un corpo lasciato cadere da quell’altezza.

v = \sqrt{2gh}

È lo stesso conto della caduta libera già visto in Il lavoro e l’energia: da $mgh = \frac{1}{2}mv^2$ si semplifica la massa e resta $v^2 = 2gh$ . È la legge di Torricelli — e si noti che non dipende dalla densità del liquido, né dalla direzione in cui è praticato il foro.

Esercizio. Usa $\rho_{\text{acqua}} = 1000\ \text{kg/m}^3$ e $g = 9{,}8\ \text{m/s}^2$ .

In un tubo di sezione $2{,}0\times 10^{-4}\ \text{m}^2$ l’acqua scorre a 3,0 m/s. Calcola la portata.
Lo stesso tubo si restringe fino a un raggio pari a metà di quello iniziale. Quanto vale la nuova velocità?
In un condotto orizzontale l’acqua passa da 2,0 m/s a 6,0 m/s. Di quanto cala la pressione?
Un serbatoio ha un foro 5,0 m sotto il pelo dell’acqua. Con che velocità esce il getto?

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1. Applicazione diretta:

Q = A\,v = 2{,}0\times 10^{-4} \cdot 3{,}0 = 6{,}0\times 10^{-4}\ \text{m}^3/\text{s}

2. Il raggio si dimezza, quindi l’area si divide per 4 e la velocità si moltiplica per 4:

v_2 = v_1\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2 = 3{,}0 \cdot 4 = 12\ \text{m/s}

3. Dalla differenza di Bernoulli:

\Delta p = \tfrac{1}{2}\cdot 1000\cdot\left(6{,}0^2 - 2{,}0^2\right) = 500 \cdot (36 - 4) = 1{,}6\times 10^4\ \text{Pa}

La pressione cala di circa 16 kPa, cioè di un sesto di atmosfera.

4. Legge di Torricelli:

v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 5{,}0} = \sqrt{98} \approx 9{,}9\ \text{m/s}

Verifica. Il punto 2 si controlla con la portata, che deve restare la stessa: a monte $6{,}0\times10^{-4}\ \text{m}^3$ /s, nella strozzatura l’area è $\frac{2{,}0\times10^{-4}}{4} = 5{,}0\times 10^{-5}\ \text{m}^2$ e $5{,}0\times10^{-5} \cdot 12 = 6{,}0\times 10^{-4}$ ✓. È il controllo giusto su tutti gli esercizi coi tubi: se la portata cambia da una sezione all’altra, c’è un errore.