Onde, effetto Doppler e interferenza

Un’onda trasporta energia senza trasportare materia: il tappo sull’acqua sale e scende, non viaggia con l’onda. Per descriverla servono due periodicità insieme — una nel tempo e una nello spazio — ed è questo che la distingue da tutto quello visto finora in cinematica.

La funzione d’onda

y(x,\,t) = A\cos\left[\frac{2\pi}{\lambda}\,(x - vt) + \varphi_0\right]

Lo spostamento $y$ dipende sia da dove sei ( $x$ ) sia da quando guardi ( $t$ ). Dentro ci sono i parametri che descrivono l’onda:

simbolo	nome	che cosa misura
$A$	ampiezza	quanto oscilla al massimo
$\lambda$	lunghezza d’onda	il periodo nello spazio
$T$	periodo	il periodo nel tempo
$f = 1/T$	frequenza	quante oscillazioni al secondo
$\varphi_0$	fase iniziale	da dove parte l’oscillazione

Le due periodicità sono legate dalla velocità di propagazione: in un periodo l’onda avanza esattamente di una lunghezza d’onda.

\lambda = v\,T = \frac{v}{f}

$\lambda = v/f$ è la relazione che si usa in nove esercizi su dieci. Il fatto da tenere fermo è che la velocità è una proprietà del mezzo, non dell’onda: il suono in aria va a circa 340 m/s (a temperatura ambiente) che sia un fischio o un tuono. Quindi frequenza alta e lunghezza d’onda corta sono la stessa cosa detta in due modi.

Questo vale nei mezzi non dispersivi, e l’aria per il suono udibile lo è con ottima approssimazione. Esistono però mezzi in cui la velocità dipende dalla frequenza: la luce nel vetro (altrimenti un prisma non separerebbe i colori) e le onde sull’acqua, dove le onde lunghe corrono più veloci di quelle corte.

L’effetto Doppler

Confronto fra sorgente ferma, con fronti d'onda equidistanti, e sorgente in moto, con i fronti addensati davanti e diradati dietro

Quando sorgente e ricevitore si muovono l’uno rispetto all’altro, la frequenza percepita è diversa da quella emessa. I due casi hanno però meccanismi diversi, e non sono simmetrici:

sorgente in moto → cambia davvero la lunghezza d’onda nel mezzo. La sorgente rincorre le proprie creste, che davanti a lei si addensano: è quello che mostra il disegno;
ricevitore in moto → i fronti restano equidistanti, $\lambda$ non cambia. È il ricevitore che ne attraversa di più (o di meno) al secondo.

f' = f_0\;\frac{v + v_R}{v - v_S}

con tutte le velocità misurate rispetto al mezzo e dirette lungo la congiungente, e con questa convenzione dei segni:

\begin{aligned} v_R &> 0 \;\text{ se il ricevitore va \textbf{verso} la sorgente} \\ v_S &> 0 \;\text{ se la sorgente va \textbf{verso} il ricevitore} \end{aligned}

La formula vale finché entrambe le velocità sono minori di $v$ : per $v_S \geq v$ il denominatore si annulla o cambia segno, e non è un incidente matematico — è il regime del bang sonico, dove i fronti si accumulano invece di arrivare uno alla volta.

Metti i segni con la convenzione, poi controlla il verso del risultato.

\text{si avvicinano} \;\rightarrow\; f' > f_0 \qquad \text{si allontanano} \;\rightarrow\; f' < f_0

L’ambulanza che arriva è più acuta, quella che se ne va è più grave: questo si ricorda da solo, e alle velocità ordinarie (entrambe molto minori di quella del suono) non sbaglia mai. Usalo come verifica finale, non per indovinare i segni: quando si muovono tutti e due, “deve crescere” non basta a individuare l’unica coppia giusta — è la convenzione qui sopra a decidere.

L’interferenza

Quando due onde arrivano nello stesso punto, gli spostamenti si sommano — è il principio di sovrapposizione. Per due onde di uguale ampiezza e frequenza sfasate di $\varphi$ , l’ampiezza risultante è

A_{\text{tot}} = 2A\,\left\lvert\cos\!\left(\frac{\varphi}{2}\right)\right\rvert

Il valore assoluto non è pignoleria: senza, con $\varphi = 2\pi$ (onde perfettamente in fase) la formula darebbe $-2A$ . Un’ampiezza non è mai negativa.

e i due casi limite portano il nome:

\underbrace{\varphi = 2k\pi \;\Rightarrow\; A_{\text{tot}} = 2A}_{\text{costruttiva}} \qquad \underbrace{\varphi = (2k+1)\pi \;\Rightarrow\; A_{\text{tot}} = 0}_{\text{distruttiva}}

Due onde possono dare zero.

Nell’interferenza distruttiva suono più suono fa silenzio, e luce più luce fa buio. Non è un’energia che sparisce: in una figura d’interferenza — due altoparlanti distanti, la doppia fenditura — si ridistribuisce, e dove c’è un minimo, altrove c’è un massimo che lo compensa.

(Le cuffie a cancellazione di rumore fanno una cosa imparentata ma non identica: generano l’onda opposta a pochi millimetri dall’orecchio, e lì il silenzio è locale — non c’è nessun massimo compensativo da un’altra parte.)

Esercizio. Usa $v_{\text{suono}} = 340\ \text{m/s}$ .

Un suono ha frequenza 170 Hz. Calcola la lunghezza d’onda.
Un’onda ha $\lambda = 0{,}50$ m e $f = 680$ Hz. Con che velocità si propaga?
Un’ambulanza emette a 700 Hz e viaggia a 30 m/s. Che frequenza senti mentre si avvicina? E dopo che è passata?
Due onde di uguale ampiezza $A$ arrivano sfasate di $\varphi = \pi$ . Quanto vale l’ampiezza risultante? E se lo sfasamento è $\varphi = \frac{\pi}{2}$ ?

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1. Applicazione diretta:

\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{170} = 2{,}0\ \text{m}

2. Stessa formula, invertita:

v = \lambda f = 0{,}50 \cdot 680 = 340\ \text{m/s}

Torna la velocità del suono: era un’onda sonora.

3. Ricevitore fermo ( $v_R = 0$ ), sorgente in moto: i segni li mette la convenzione, non l’orecchio. In avvicinamento la sorgente va verso il ricevitore, quindi $v_S = +30$ :

f' = 700\cdot\frac{340 + 0}{340 - 30} = 700\cdot\frac{340}{310} \approx 768\ \text{Hz}

In allontanamento $v_S = -30$ :

f' = 700\cdot\frac{340}{340 - (-30)} = 700\cdot\frac{340}{370} \approx 643\ \text{Hz}

Solo adesso il controllo a orecchio, come chiede il ricorda: in avvicinamento la frequenza deve salire ( $768 > 700$ ✓), in allontanamento calare ( $643 < 700$ ✓). L’ordine è questo — convenzione prima, verso dopo: con sorgente e ricevitore entrambi in moto è l’unico che funziona.

4. Con $\varphi = \pi$ :

A_{\text{tot}} = 2A\cos\frac{\pi}{2} = 0

interferenza distruttiva. Con $\varphi = \frac{\pi}{2}$ :

A_{\text{tot}} = 2A\cos\frac{\pi}{4} = 2A\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = A\sqrt{2} \approx 1{,}41\,A

né un massimo né un minimo: un caso intermedio.

Verifica. Il punto 3 si controlla senza rifare i conti: i due risultati devono stare uno sopra e uno sotto i 700 Hz di partenza, e infatti 768 > 700 > 643 ✓. Se ti escono entrambi dalla stessa parte, hai usato lo stesso segno due volte.