Le funzioni goniometriche

La goniometria nasce per misurare i triangoli, ma diventa potente quando si smette di guardare il triangolo e si guarda una circonferenza di raggio 1. Da lì seno e coseno non sono più rapporti fra lati: sono coordinate di un punto.

La circonferenza goniometrica

Preso l’angolo $\alpha$ a partire dal semiasse positivo delle $x$, il punto $P$ in cui il lato dell’angolo incontra la circonferenza ha coordinate

$$P\big(\cos\alpha,\; \sin\alpha\big)$$

Cioè: il coseno è l’ascissa, il seno è l’ordinata. Non c’è niente da memorizzare oltre a questo — tutto il resto si ricostruisce guardando il disegno.

Da qui segue immediatamente la limitazione:

$$-1 \le \sin\alpha \le 1 \qquad\qquad -1 \le \cos\alpha \le 1$$

perché il punto non può uscire da una circonferenza di raggio 1.

La tangente è il rapporto fra le due:

$$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$$

e a differenza delle altre due non è limitata: cresce senza limite quando $\cos\alpha \to 0$, cioè per $\alpha = 90° + k\,180°$, dove infatti non esiste.

I valori notevoli

Tre angoli vanno saputi a memoria, e il resto si ricava per simmetria:

$\alpha$	$\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$\tan\alpha$
$0°$	$0$	$1$	$0$
$30°$	$\dfrac12$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$
$45°$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$1$
$60°$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac12$	$\sqrt3$
$90°$	$1$	$0$	non esiste

Nota la struttura: seno e coseno di 30° e 60° si scambiano, e a 45° coincidono. Se ricordi questo, la tabella si ricostruisce da sola.

La relazione fondamentale

$$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$$

Non è una formula da imparare: è il teorema di Pitagora sul triangolo che ha per cateti il seno e il coseno e per ipotenusa il raggio, che vale 1.

Serve continuamente per passare da una funzione all’altra:

$$\sin\alpha = \pm\sqrt{1 - \cos^2\alpha}$$

Parità e periodicità

Guardando la circonferenza si leggono anche le simmetrie:

$$\cos(-\alpha) = \cos\alpha \qquad\text{(pari, simmetrica rispetto all'asse } y)$$ $$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha \qquad\text{(dispari, simmetrica rispetto all'origine)}$$

E tutte sono periodiche: seno e coseno di periodo $360°$ ($2\pi$), la tangente di periodo $180°$ ($\pi$). È il motivo per cui le equazioni goniometriche hanno infinite soluzioni.

Le funzioni inverse

Quando l’angolo è l’incognita servono le inverse:

$$\alpha = \arcsin(k) \qquad \alpha = \arccos(k) \qquad \alpha = \arctan(k)$$

Nei triangoli rettangoli è il passaggio che chiude il problema: da $\cos\alpha = \dfrac{\text{cateto}}{\text{ipotenusa}}$ si ricava

$$\alpha = \arccos\!\left(\frac{\text{cateto}}{\text{ipotenusa}}\right)$$