Equazioni goniometriche — filoconduttore

Un’equazione goniometrica ha l’incognita dentro una funzione goniometrica. La novità rispetto a tutte le equazioni viste finora è che le funzioni sono periodiche: se una soluzione esiste, ne esistono infinite.

Elementari

\sin x = \frac12

Sulla circonferenza ci sono due punti con ordinata $\frac12$ : $x = \frac{\pi}{6}$ e $x = \frac{5\pi}{6}$ (cioè $\pi - \frac{\pi}{6}$ ). E ognuno si ripete a ogni giro:

x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \qquad\lor\qquad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi \qquad k \in \mathbb{Z}

Il $+2k\pi$ non è un ornamento. Ometterlo significa dare due soluzioni invece di infinite, ed è considerato errore in qualsiasi verifica.

E attenzione a quale periodo: seno e coseno si ripetono ogni $2\pi$ , la tangente ogni $\pi$ . Per un’equazione con la tangente si scrive quindi $+k\pi$ , e la seconda famiglia di soluzioni non serve:

\tan x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi

Le regole delle tre elementari, con la circonferenza sempre davanti:

equazione	soluzioni
$\sin x = m$	$x = \alpha + 2k\pi \;\lor\; x = \pi - \alpha + 2k\pi$
$\cos x = m$	$x = \pm\alpha + 2k\pi$
$\tan x = m$	$x = \alpha + k\pi$

dove $\alpha$ è l’angolo di riferimento ricavato con la funzione inversa. E la condizione di esistenza: per seno e coseno serve $-1 \le m \le 1$ , altrimenti $S = \varnothing$ .

Le tre categorie

Le equazioni non elementari si riconducono sempre a una di tre forme, e riconoscere quale si ha davanti è metà del lavoro.

1. Riconducibili a elementari per sostituzione

Se compare la stessa funzione a più potenze, si pone $t = \sin x$ (o $\cos x$ ) e si risolve un’equazione algebrica:

2\sin^2 x - 5\sin x + 2 = 0 \qquad\xrightarrow{\;t = \sin x\;}\qquad 2t^2 - 5t + 2 = 0

t_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{4} \quad\Longrightarrow\quad t_1 = 2, \quad t_2 = \frac12

La soluzione $t_1 = 2$ si scarta: $\sin x$ non può valere 2. Resta

\sin x = \frac12 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \;\lor\; x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Dopo la sostituzione controlla sempre che i valori di $t$ siano fra $-1$ e $1$ . Le equazioni di secondo grado producono spesso una radice “impossibile”, ed è normale: si scarta e si va avanti con l’altra. Non è un errore di conto.

2. Omogenee

Tutti i termini hanno lo stesso grado in seno e coseno:

\sqrt3\,\sin^2 x + (\sqrt3 - 1)\sin x\cos x - \cos^2 x = 0

Si dividono tutti i termini per $\cos^2 x$ (lecito, perché $\cos x = 0$ non è soluzione: lo verifichi sostituendo), e l’equazione diventa di secondo grado in $\tan x$ :

\sqrt3\,\tan^2 x + (\sqrt3 - 1)\tan x - 1 = 0

3. Lineari

Della forma $a\sin x + b\cos x = c$ . Si risolvono con l’angolo aggiunto o con le formule parametriche — ma il primo passo è sempre riconoscere che è lineare, cioè che seno e coseno compaiono al primo grado e separati.

Un’equazione non omogenea non si può dividere per $\cos^2 x$ : se c’è un termine noto, quel termine diventerebbe $\frac{c}{\cos^2 x}$ e non si semplifica niente.

Il trucco quando c’è il termine noto: moltiplicalo per $\sin^2 x + \cos^2 x$ , che vale 1 e non cambia nulla, e l’equazione diventa omogenea.

3\sin^2 x + \sin x\cos x - 2\cos^2 x = \underbrace{1}_{\;=\;\sin^2 x + \cos^2 x}

Esercizio. Risolvi:

$\cos x = \dfrac{\sqrt2}{2}$
$2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$
$\sin x \cos x = 0$

Mostra la soluzione

1. Elementare col coseno, angolo di riferimento $\frac{\pi}{4}$ :

x = \pm\frac{\pi}{4} + 2k\pi

2. Sostituzione $t = \cos x$ :

2t^2 - t - 1 = 0 \qquad \Delta = 1 + 8 = 9 \qquad t_{1,2} = \frac{1 \pm 3}{4}

Quindi $t_1 = 1$ e $t_2 = -\frac12$ . Entrambi accettabili (stanno fra $-1$ e 1):

\cos x = 1 \;\Rightarrow\; x = 2k\pi

\cos x = -\frac12 \;\Rightarrow\; x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2k\pi

3. Prodotto uguale a zero: si annulla se si annulla un fattore.

\sin x = 0 \;\Rightarrow\; x = k\pi \qquad\lor\qquad \cos x = 0 \;\Rightarrow\; x = \frac{\pi}{2} + k\pi

Le due famiglie insieme danno tutti i multipli di $\frac{\pi}{2}$ , quindi si può scrivere più brevemente $x = k\frac{\pi}{2}$ .

Verifica. Sostituisci un valore di ciascuna famiglia nell’equazione di partenza. Nel punto 2, con $k=0$ e $x = \frac{2\pi}{3}$ : $\cos x = -\frac12$ , e $2\cdot\frac14 + \frac12 - 1 = 0$ ✓.