Equazioni e disequazioni irrazionali

Un’equazione è irrazionale quando l’incognita compare sotto il segno di radice. Elevare a potenza per liberarsene è la mossa giusta, ma non è gratis: l’elevamento a potenza pari non conserva le informazioni sul segno, e restituisce soluzioni che non erano nel problema.

Tutta la lezione ruota attorno a una sola domanda: l’indice della radice è pari o dispari?

Indice dispari: nessuna condizione

Una radice di indice dispari esiste sempre, per qualunque valore dell’argomento — positivo, negativo o nullo — e conserva il segno. Quindi si eleva alla $n$ e basta:

$$\sqrt[3]{x+1} = -2 \qquad\Longrightarrow\qquad x + 1 = (-2)^3 = -8 \qquad\Longrightarrow\qquad x = -9$$

Nessuna verifica da fare, nessuna soluzione da scartare: $\sqrt[3]{-8}$ vale davvero $-2$.

Lo stesso vale per le disequazioni: la funzione $t \mapsto t^n$ con $n$ dispari è crescente, quindi elevare non cambia il verso.

$$\sqrt[n]{f(x)} \ge g(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad f(x) \ge \big[g(x)\big]^n \qquad (n \text{ dispari})$$

Indice pari: il caso vero

Qui cambiano due cose insieme, e sono la sorgente di tutti gli errori:

• la radice esiste solo se l’argomento è $\ge 0$;
• la radice vale sempre un numero $\ge 0$.

La seconda è quella che si dimentica. $\sqrt{4}$ non è "$\pm 2$": è $2$. Il simbolo di radice indica un numero, e quel numero non è mai negativo.

Il caso

$$\sqrt{x+7} = x+1$$

A sinistra c’è una quantità che non può essere negativa. Quindi anche il membro destro non può esserlo: se $x+1 < 0$ l’uguaglianza è impossibile prima ancora di fare i conti. Questa non è una precauzione, è parte dell’equazione:

$$\sqrt{A(x)} = B(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} B(x) \ge 0 \\[2pt] A(x) = \big[B(x)\big]^2 \end{cases}$$

La condizione $A(x) \ge 0$ non serve scriverla: se $A = B^2$, allora $A$ è già un quadrato, quindi già $\ge 0$. Le condizioni da imporre sono due, non tre.

Un avvertimento prima di usare lo schema: pretende la radice da sola a un membro. Se l’esercizio arriva come $\sqrt{x+7} + x = 5$, il passo zero è isolarla — $\sqrt{x+7} = 5 - x$ — e solo allora elevare. Elevare al quadrato con la radice ancora in mezzo agli altri termini non la elimina: il doppio prodotto la ripresenta tale e quale, con un conto in più e un errore quasi garantito. Questo vale identico per le disequazioni di qui sotto.

Sul nostro caso:

$$\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\[2pt] x + 7 = (x+1)^2 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad \begin{cases} x \ge -1 \\[2pt] x^2 + x - 6 = 0 \end{cases}$$

L’equazione dà $x = 2$ e $x = -3$. La condizione $x \ge -1$ accetta la prima e scarta la seconda:

$$S = \{\,2\,\}$$

Il disegno dice da dove viene $x = -3$. Lì la radice vale $+2$ e la retta $-2$: i due grafici non si toccano affatto. Ma $(+2)^2$ e $(-2)^2$ fanno lo stesso numero, e l’equazione elevata al quadrato non li distingue più. La condizione $B(x) \ge 0$ è il filtro che rimette la distinzione.

Disequazioni: due casi opposti

Con il verso, la condizione sul membro destro si comporta in due modi diversi — e vanno tenuti separati, perché uno dei due si spezza in un’unione.

Caso “minore”. Se la radice deve stare sotto a $B$, allora $B$ deve essere positivo (nulla è minore di un numero negativo, tantomeno una quantità $\ge 0$), e l’argomento deve esistere:

$$\sqrt{A(x)} < B(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases} A(x) \ge 0 \\[2pt] B(x) > 0 \\[2pt] A(x) < \big[B(x)\big]^2 \end{cases}$$

Le tre condizioni valgono insieme: è un sistema, si interseca. Con il verso $\le$ diventano tutte non strette.

Caso “maggiore”. Qui il ragionamento si rovescia. Se $B$ è negativo, la disequazione è automaticamente vera ovunque la radice esista — un numero $\ge 0$ è sempre maggiore di un negativo, e non c’è niente da elevare. Se invece $B$ è positivo, allora si eleva. Due situazioni distinte, quindi due sistemi, e la soluzione è la loro unione:

$$\sqrt{A(x)} > B(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \underbrace{\begin{cases} A(x) \ge 0 \\[2pt] B(x) < 0 \end{cases}}_{S_1:\ vera\ senza\ elevare} \;\;\cup\;\; \underbrace{\begin{cases} B(x) \ge 0 \\[2pt] A(x) > \big[B(x)\big]^2 \end{cases}}_{S_2:\ si\ eleva}$$

Col verso $\ge$ cambia solo l’ultima condizione di $S_2$, che diventa $A(x) \ge \big[B(x)\big]^2$: il resto — compreso $B(x) < 0$ in $S_1$ — è identico.

Un esempio per ciascuno.

$$\sqrt{2x+1} > 3$$

$S_1$ chiede $3 < 0$: falso, quindi $S_1 = \varnothing$. $S_2$ chiede $3 \ge 0$ (sempre vero) e $2x+1 > 9$, cioè $x > 4$.

$$S = \varnothing \cup \{x > 4\} = \{\,x > 4\,\}$$ $$\sqrt{x+4} \le 4$$

Caso minore, quindi un solo sistema: $x + 4 \ge 0$, $4 \ge 0$ (sempre vero), $x+4 \le 16$.

$$\begin{cases} x \ge -4 \\[2pt] x \le 12 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad S: \; -4 \le x \le 12$$