La funzione esponenziale — filoconduttore

Finora l’incognita stava nella base: $x^2 = 9$ . Qui sale all’esponente: $2^x = 8$ . Cambia poco da leggere e cambia tutto da risolvere, perché le regole che servono sono quelle delle potenze, non quelle delle equazioni.

Non è un argomento astratto: la carica di un condensatore, il decadimento radioattivo e l’interesse composto sono tutti della forma $a^x$ . Nella lezione carica e scarica del condensatore la tensione sale come $1 - e^{-t/RC}$ : è questa funzione, con la base $e$ .

Il caso

8^x = 32

A occhio non si vede. Ma $8$ e $32$ sono entrambe potenze di 2, e riscritte così l’equazione si scioglie:

(2^3)^x = 2^5 \quad\Longrightarrow\quad 2^{3x} = 2^5 \quad\Longrightarrow\quad 3x = 5 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{5}{3}

La regola

a^x = a^y \quad\Longleftrightarrow\quad x = y \qquad (a > 0,\; a \neq 1)

Due potenze con la stessa base sono uguali solo se hanno lo stesso esponente. Tutto il lavoro consiste nel portarle alla stessa base: da lì in poi è un’equazione normale.

Le proprietà che servono per farlo sono sempre queste cinque:

operazione	regola
prodotto	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$
quoziente	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
potenza di potenza	$(a^m)^n = a^{m\,n}$
esponente negativo	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$
radice	$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$

Le ultime due sono quelle che si dimenticano, e sono quelle che servono di più: ogni frazione e ogni radice va trasformata in un esponente prima di confrontare.

Il grafico

Grafico di y = a^x nei due casi a>1 (crescente) e 0<a<1 (decrescente): entrambe passano per (0,1) e restano sopra l'asse x

Due sole forme possibili, e una proprietà che vale per tutte e due:

se $a > 1$ la curva cresce; se $0 < a < 1$ decresce;
passa sempre per $(0,\,1)$ , perché $a^0 = 1$ ;
si avvicina all’asse $x$ senza toccarlo mai: $y = 0$ è un asintoto orizzontale.

Una potenza a base positiva non è mai negativa e non è mai zero: $a^x > 0$ sempre.

È la frase che poi decide gli esercizi. Ogni volta che un conto porta a scrivere $a^{\text{qualcosa}} = -2$ oppure $a^{\text{qualcosa}} = 0$ , la risposta è impossibile, non è un caso da studiare.

Il metodo, in tre passi

Un caso con più fattori, per vedere i passi lavorare insieme:

\left(\frac{1}{10}\right)^{4x} = 1000 \cdot 10^{\,1-x}

1. Tutto alla stessa base. Qui la base naturale è $10$ : $\frac{1}{10} = 10^{-1}$ e $1000 = 10^3$ .

\underbrace{10^{-4x}}_{(10^{-1})^{4x}} = \underbrace{10^{3}}_{1000} \cdot 10^{\,1-x}

2. Un solo esponente per lato, con le proprietà: a destra il prodotto diventa una somma di esponenti.

10^{-4x} = 10^{\,3 + 1 - x} = 10^{\,4-x}

3. Uguaglia gli esponenti e risolvi.

-4x = 4 - x \quad\Longrightarrow\quad -3x = 4 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{4}{3}

Quando la stessa base non basta: la sostituzione

9^x = 6 + 3^x

Qui i due termini non si uniscono: c’è $3^x$ da una parte e $9^x$ dall’altra. Ma $9^x = (3^2)^x = 3^{2x} = \left(3^x\right)^2$ , e allora compare due volte la stessa cosa:

\left(3^x\right)^2 - 3^x - 6 = 0

Si chiama $t$ quella cosa — $t = 3^x$ — e resta un’equazione di secondo grado:

t^2 - t - 6 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 3 \;\lor\; t = -2

Adesso si torna indietro, e qui casca metà della classe:

\underbrace{3^x = 3 \;\Longrightarrow\; x = 1}_{\text{accettabile}} \qquad \underbrace{3^x = -2}_{\text{impossibile: } 3^x > 0}

La sostituzione non finisce con la $t$ : finisce quando sei tornato alla $x$ .

Due errori diversi, tutti e due frequenti:

\underbrace{t = 3 \;\Longrightarrow\; x = 1}_{\text{giusto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{t = 3 \;\Longrightarrow\; x = 3}_{\text{sbagliato}}

e la soluzione negativa che viene scartata senza dirlo. Scrivi $3^x = -2$ , poi scrivi impossibile: se il correttore non vede il passaggio, non sa se l’hai capito o dimenticato.

Quando le basi non si possono unificare

5^{\,x+4} = 2^{\,x+4}

Cinque e due non sono potenze l’uno dell’altro: il primo passo del metodo si blocca. Ma guarda cosa c’è di uguale — gli esponenti. E due potenze di basi diverse, a parità di esponente, possono valere lo stesso numero in un caso solo:

5^0 = 2^0 = 1 \qquad\Longrightarrow\qquad x + 4 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x = -4

Ed è l’unica soluzione: per qualsiasi altro esponente $5^k$ e $2^k$ sono diversi, perché le due funzioni crescono a velocità diverse e si incontrano solo dove valgono entrambe $1$ .

La condizione “a parità di esponente” non è pleonasmo: con esponenti diversi due basi diverse possono benissimo coincidere — $2^4 = 4^2$ , e $4^x = 2^{x+2}$ non si risolve certo ponendo gli esponenti a zero (si torna al metodo della base comune: $4^x = 2^{2x}$ ). Il riflesso “basi diverse ⟹ esponente $= 0$ ” scatta solo quando l’esponente è lo stesso dai due lati.

Lo stesso ragionamento si usa al contrario, e conviene tenerselo come riflesso:

Quando un’equazione esponenziale è posta uguale a $1$ , pensa all’ $1$ come alla tua base elevata a zero.

5^{\,2x^2 + x - 15} = 1 = 5^0 \qquad\Longrightarrow\qquad 2x^2 + x - 15 = 0

e da lì è una normale equazione di secondo grado. Senza questa lettura, l’ $1$ a destra sembra un vicolo cieco.

Un’ultima trappola, sottile perché a volte dà comunque il numero giusto:

3^{\,x+1} - 9 = 0

C’è chi scrive direttamente $x + 1 - 2 = 0$ , come se dalla sottrazione fra le due potenze si potesse passare alla sottrazione fra gli esponenti. Qui il risultato torna per caso — $x = 1$ è davvero la soluzione — ma il procedimento è privo di senso: $3^{a} - 3^{b}$ non è $3^{a-b}$ .

Il passaggio corretto è isolare e poi uguagliare le basi:

3^{\,x+1} = 9 = 3^2 \qquad\Longrightarrow\qquad x + 1 = 2 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 1

Un metodo che dà la risposta giusta su un esempio non è un metodo giusto: è un metodo che non è ancora stato smascherato.

La base deve essere positiva

Ultimo confine, quello che manda in errore le calcolatrici prima degli studenti:

\left(\frac{3}{4}\right)^{-2x} = \left(-\frac{3}{4}\right)^{-3}

A destra la base è negativa. Con esponenti reali una potenza a base negativa non è definita ( $(-1)^{1/2}$ dovrebbe essere $\sqrt{-1}$ ), quindi l’uguaglianza non si può nemmeno impostare: la risposta è impossibile. Per lo stesso motivo nella regola si richiede $a > 0$ , e si esclude $a = 1$ : con base $1$ ogni esponente darebbe $1$ , e da $1^x = 1$ non si ricava nessuna $x$ .

Esercizio.

$25^x = 125$
$\left(\dfrac{1}{9}\right)^{x} = 27^{\,x-1}$
$2^{2x} - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$
$4^x + 2^x - 2 = 0$

Mostra la soluzione

1. Base comune $5$ : $25 = 5^2$ e $125 = 5^3$ .

5^{2x} = 5^{3} \quad\Longrightarrow\quad 2x = 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3}{2}

2. Base comune $3$ : $\frac{1}{9} = 3^{-2}$ e $27 = 3^3$ .

3^{-2x} = 3^{\,3(x-1)} = 3^{\,3x-3} \quad\Longrightarrow\quad -2x = 3x - 3 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3}{5}

3. Compare due volte $2^x$ , perché $2^{2x} = \left(2^x\right)^2$ . Con $t = 2^x$ :

t^2 - 5t + 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1 \;\lor\; t = 4

Tornando alla $x$ : da $2^x = 1$ segue $x = 0$ (perché $2^0 = 1$ ), da $2^x = 4$ segue $x = 2$ . Entrambe accettabili.

4. Stessa struttura, con $t = 2^x$ e $4^x = \left(2^x\right)^2$ :

t^2 + t - 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = 1 \;\lor\; t = -2

$2^x = 1$ dà $x = 0$ ; $2^x = -2$ è impossibile, perché una potenza di $2$ è sempre positiva. Unica soluzione $x = 0$ .

Verifica. Il punto 3 si controlla a mente sostituendo: con $x = 2$ viene $2^4 - 5\cdot 2^2 + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$ ✓, con $x = 0$ viene $1 - 5 + 4 = 0$ ✓. Un’equazione esponenziale risolta per sostituzione si verifica sempre così — costa dieci secondi e intercetta l’errore più comune, quello di fermarsi alla $t$ .