Monomi e polinomi — filoconduttore

Il calcolo letterale serve a generalizzare i problemi: invece di risolvere il caso con i numeri 3 e 5, si risolve una volta per tutte con $a$ e $b$ . I mattoni di questo linguaggio sono i monomi.

Monomio

Un monomio è la più semplice espressione letterale: un prodotto fra un numero e delle lettere, senza addizioni e senza divisioni per lettere.

3a^2b \qquad -\frac{2}{3}\,ab^3 \qquad \sqrt{2}\,b^3c

Si distinguono due parti: il coefficiente (la parte numerica) e la parte letterale.

Non tutto ciò che ha delle lettere è un monomio. Non lo sono:

\begin{aligned} \frac{3ab}{c} \quad & \text{(lettera al denominatore)} \\ \sqrt{3}\,ab^{-1} \quad & \text{(esponente negativo)} \\ a + b \quad & \text{(c'è una somma)} \end{aligned}

La regola sotto tutti e tre i casi è una sola: in un monomio le lettere possono comparire solo moltiplicate fra loro, con esponenti interi positivi.

Monomi simili, e la somma

Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale, coefficienti a parte.

3a^2b \quad\text{e}\quad -7a^2b \quad \text{sono simili} \qquad 3a^2b \quad\text{e}\quad 3ab^2 \quad \text{no}

La distinzione conta perché solo i monomi simili si sommano, e si sommano raccogliendo la parte letterale in comune:

-\frac{23}{4}a^5 + \frac{3}{4}a^5 = \left(-\frac{23}{4} + \frac{3}{4}\right)a^5 = -5a^5

Se non sono simili, la somma resta indicata: $3a^2b + 3ab^2$ non si semplifica, è già il risultato.

Prodotto e potenza invece funzionano fra monomi qualsiasi: si moltiplicano i coefficienti e si sommano gli esponenti delle lettere uguali.

(3a^2b) \cdot (-2ab^3) = -6\,a^{3}b^{4}

Si sommano solo i simili, si moltiplicano tutti. È la distinzione che si dimentica più spesso: davanti a una somma la prima domanda è “sono simili?”, davanti a un prodotto non serve chiederselo.

Polinomio

Un polinomio è la somma algebrica di più monomi. I monomi che lo compongono si chiamano termini.

\underbrace{a^2}_{\text{I termine}} + \underbrace{2ab}_{\text{II termine}} + \underbrace{b^2}_{\text{III termine}}

Secondo il numero di termini si parla di binomio (due), trinomio (tre), quadrinomio (quattro).

Grado

Il grado di un monomio rispetto a una lettera è l’esponente di quella lettera. Il grado complessivo è la somma di tutti gli esponenti.

Il grado di un polinomio è il grado del suo termine di grado più alto:

2a^2b + 3a^5 - 2a^3b^4

grado rispetto ad $a$ : 5 (il massimo fra 2, 5 e 3);
grado rispetto a $b$ : 4;
grado complessivo: 7 (dal termine $-2a^3b^4$ , che vale $3+4$ ).

Esercizio.

Quali di queste sono monomi? $\;5x^2y$ , $\;\dfrac{2a}{b}$ , $\;-3\,$ , $\;x^2 + y$ , $\;\dfrac{x^3y}{4}$
Semplifica: $\;\dfrac{1}{2}a^3 - \dfrac{2}{5}a^3 + a^3$
Calcola: $\;(-4x^2y)\cdot\left(\dfrac{3}{2}xy^3\right)$
Trova il grado complessivo di $\;5x^3y^2 - 2x^4 + 7xy^5$

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1. Sono monomi: $5x^2y$ , $-3$ (un numero è un monomio di grado zero) e $\dfrac{x^3y}{4}$ (dividere per un numero è lecito, equivale a moltiplicare per $\frac14$ ). Non lo sono $\dfrac{2a}{b}$ (lettera al denominatore) e $x^2+y$ (è un polinomio).

2. Sono tutti simili, quindi sommo i coefficienti:

\frac{1}{2} - \frac{2}{5} + 1 = \frac{5 - 4 + 10}{10} = \frac{11}{10} \qquad\Longrightarrow\qquad \frac{11}{10}a^3

3. Moltiplico i coefficienti e sommo gli esponenti:

(-4x^2y)\cdot\left(\frac{3}{2}xy^3\right) = -6\,x^{3}y^{4}

4. Grado di ciascun termine: $5x^3y^2 \to 3+2 = 5$ ; $-2x^4 \to 4$ ; $7xy^5 \to 1+5 = 6$ . Il grado del polinomio è il massimo: 6.

Verifica. Nel punto 2, controlla che la parte letterale sia rimasta $a^3$ e non sia diventata $a^9$ : sommando monomi simili la parte letterale non cambia, si toccano solo i coefficienti.