Limiti e asintoti — filoconduttore

Il limite risponde a una domanda che il semplice calcolo non può porre: verso cosa tende la funzione quando $x$ si avvicina a un valore dove magari la funzione non esiste, o quando $x$ scappa all’infinito.

\lim_{x \to x_0} f(x) = \ell

si legge: avvicinandosi a $x_0$ , i valori di $f$ si avvicinano a $\ell$ . Nota bene: non serve che $f$ esista in $x_0$ — anzi, i casi interessanti sono proprio quelli.

Il caso facile: sostituire

Se $x_0$ appartiene al dominio e non nascono problemi, il limite si calcola sostituendo:

\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10

Il novanta per cento dei limiti si risolve provando prima questo. Se esce un numero, hai finito.

Le forme indeterminate

Se sostituendo esce una di queste scritture, il limite non è ancora deciso:

\frac{0}{0} \qquad \frac{\infty}{\infty} \qquad \infty - \infty \qquad 0 \cdot \infty \qquad 1^{\infty}

Forma indeterminata non significa “non esiste”. Significa che quella scrittura, da sola, non basta a decidere: il limite può venire qualunque cosa, e va sciolto con un lavoro algebrico.

\lim_{x\to 0}\frac{x}{x} = 1 \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x} = 0 \qquad \lim_{x\to 0}\frac{x}{x^2} = \infty

Tutti e tre si presentano come $\frac{0}{0}$ , e danno tre risposte diverse. Scrivere " $\frac00$ " come risultato è quindi sempre sbagliato: è la descrizione del problema, non la soluzione.

Come si sciolgono

Rapporto di polinomi con $x \to \infty$ — si raccoglie la potenza più alta, e restano solo i gradi:

\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2 + 3x}{x^2 - 1} = 2

La regola pratica: se il grado sopra è uguale a quello sotto il limite è il rapporto dei coefficienti; se sopra è minore il limite è 0; se sopra è maggiore è $\infty$ .

Rapporto di polinomi con $\frac00$ — si scompone e si semplifica il fattore che si annulla:

\lim_{x\to 3}\frac{x^2-9}{x-3} = \lim_{x\to 3}\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x\to 3}(x+3) = 6

Qui si vede bene il senso del limite: in $x=3$ la funzione non esiste, eppure tende a 6.

Limiti notevoli — alcuni non si sciolgono con l’algebra e vanno conosciuti:

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1 \qquad\qquad \lim_{x\to \infty}\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e

Gli asintoti

Gli asintoti sono rette a cui il grafico si avvicina indefinitamente, e si trovano tutti con i limiti:

Verticale — dove la funzione esplode, tipicamente in un punto escluso dal dominio:

\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm\infty \qquad\Longrightarrow\qquad x = x_0 \text{ è asintoto verticale}

Orizzontale — quando all’infinito la funzione si stabilizza su un valore:

\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = q \qquad\Longrightarrow\qquad y = q \text{ è asintoto orizzontale}

Obliquo — si cerca solo se non c’è quello orizzontale, e serve una retta $y = mx + q$ :

m = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} \qquad\qquad q = \lim_{x\to\infty}\big(f(x) - mx\big)

Orizzontale e obliquo si escludono a vicenda: se la funzione tende a un numero finito, si appoggia a una retta orizzontale e l’obliquo non c’è. Cercarlo comunque è tempo perso, e trovare “entrambi” è il segnale che un conto è sbagliato.

Per i verticali, il posto dove guardare è già scritto nel dominio: i valori esclusi.

Esercizio. Data $f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x - 1}$ :

Calcola $\displaystyle\lim_{x\to 1^{\pm}} f(x)$ e indica l’asintoto verticale.
Calcola $\displaystyle\lim_{x\to \pm\infty} f(x)$ : c’è un asintoto orizzontale?
Se non c’è, cerca l’asintoto obliquo.

Mostra la soluzione

Punto 1. In $x=1$ il denominatore si annulla e il numeratore vale 3: non è una forma indeterminata, è $\frac{3}{0}$ , quindi il limite è infinito. Il segno dipende da come ci si avvicina:

\lim_{x\to 1^{+}} f(x) = +\infty \qquad \lim_{x\to 1^{-}} f(x) = -\infty

(da destra il denominatore è un numero piccolo positivo, da sinistra negativo.)

Asintoto verticale: $x = 1$ .

Punto 2. Grado sopra (2) maggiore di grado sotto (1):

\lim_{x\to\pm\infty} f(x) = \pm\infty

Nessun asintoto orizzontale.

Punto 3. Proprio perché manca l’orizzontale, cerco l’obliquo.

m = \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+1}{x^2 - x} = 2

q = \lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x^2+1}{x-1} - 2x\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2 + 1 - 2x^2 + 2x}{x-1} = \lim_{x\to\infty}\frac{2x + 1}{x - 1} = 2

Asintoto obliquo: $y = 2x + 2$ .

Verifica. Controllo di coerenza: $m$ è venuto finito e diverso da zero, ed è la condizione perché l’obliquo esista. Se $m$ fosse venuto 0 avresti dovuto trovare un asintoto orizzontale al punto 2, e la contraddizione segnalerebbe un errore.