La retta

Una retta è un insieme infinito di punti allineati, e nel piano cartesiano si descrive con un’equazione di primo grado. Tutta la geometria analitica della retta sta in due numeri: quanto è inclinata e dove passa.

Le due forme

$$\underbrace{y = mx + q}_{\text{forma esplicita}} \qquad\qquad \underbrace{ax + by + c = 0}_{\text{forma implicita}}$$

Si passa dall’implicita all’esplicita isolando la $y$:

$$\begin{aligned} ax + by + c &= 0 \\[4pt] by &= -ax - c \\[4pt] y &= -\frac{a}{b}\,x - \frac{c}{b} \end{aligned}$$

Confrontando con $y = mx + q$ si leggono i due coefficienti:

$$m = -\frac{a}{b} \qquad\qquad q = -\frac{c}{b}$$

Cosa significano m e q

• $q$ è l’intercetta: l’ordinata del punto in cui la retta taglia l’asse $y$. Si trova subito ponendo $x = 0$.
• $m$ è il coefficiente angolare, cioè la pendenza: dice di quanto sale la $y$ quando la $x$ avanza di 1.

Il segno di $m$ si legge a colpo d’occhio sul grafico:

$m$	la retta
$m > 0$	sale da sinistra a destra
$m < 0$	scende
$m = 0$	è orizzontale: $y = q$

Rette particolari

$$\underbrace{x = 0}_{\text{asse } y} \qquad \underbrace{y = 0}_{\text{asse } x} \qquad \underbrace{y = k}_{\text{orizzontale}} \qquad \underbrace{x = k}_{\text{verticale}}$$

Parallele e perpendicolari

Due rette con la stessa pendenza non si incontrano mai:

$$r_1 \parallel r_2 \iff m_1 = m_2$$

Per la perpendicolarità la condizione è meno intuitiva ma altrettanto secca:

$$r_1 \perp r_2 \iff m_1 \cdot m_2 = -1 \qquad\text{ovvero}\qquad m_1 = -\frac{1}{m_2}$$

Il coefficiente angolare di una perpendicolare è l’antireciproco: si gira la frazione e si cambia il segno. Se $m_2 = \frac12$, allora $m_1 = -2$.

Retta per un punto

Conoscendo la pendenza $m$ e un punto $P(x_P,\, y_P)$ per cui passa:

$$y - y_P = m\,(x - x_P)$$

Esempio: la perpendicolare a $y = \frac12 x + 3$ passante per $P(-2,\, 3)$.

Prima la pendenza, con l’antireciproco: da $m_2 = \frac12$ segue $m_1 = -2$. Poi la formula:

$$\begin{aligned} y - 3 &= -2\,(x + 2) \\[4pt] y &= -2x - 4 + 3 \\[4pt] y &= -2x - 1 \end{aligned}$$

Distanza fra due punti

$$\overline{AB} = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$

È il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti le differenze di ascissa e di ordinata. Le differenze sono al quadrato, quindi l’ordine in cui le sottrai non conta: $(3-7)^2 = (7-3)^2 = 16$.