Lo studio di funzione — filoconduttore

Lo studio di funzione non è un argomento nuovo: è il montaggio di tutto quello che sai già — dominio, segno, limiti, derivate — in una sequenza che porta al grafico. La difficoltà non sta nei singoli passi, sta nel farli nell’ordine giusto e nel non saltarne nessuno.

Lo schema

Dominio — dove la funzione esiste. Sempre per primo.
Simmetrie — pari o dispari? Se sì, studi metà grafico.
Intersezioni con gli assi — zeri e $f(0)$ .
Segno — dove il grafico sta sopra e sotto l’asse $x$ .
Limiti agli estremi del dominio → asintoti verticali, orizzontali o obliqui.
Derivata prima → segno di $f'$ → crescenza, decrescenza, massimi e minimi.
Grafico — si mette insieme tutto.

L’ordine non è decorativo. Il dominio dice dove cercare gli asintoti verticali (punto 5); il segno (punto 4) vincola dove il grafico può passare e smaschera un massimo calcolato male al punto 6. Ogni passo riduce le possibilità del successivo — saltarne uno significa lavorare con più libertà del dovuto e accorgersi degli errori solo alla fine.

Il punto 6 in pratica

La derivata prima serve per il segno, non per il valore:

f'(x) > 0 \;\Rightarrow\; f \text{ cresce} \qquad\qquad f'(x) < 0 \;\Rightarrow\; f \text{ decresce}

I punti in cui $f'(x) = 0$ sono i candidati a massimo o minimo, e si decide guardando come cambia il segno di $f'$ attorno a loro:

$f'$ prima	$f'$ dopo	il punto è
$+$	$-$	massimo
$-$	$+$	minimo
$+$	$+$ (o $-$ , $-$ )	né max né min (flesso a tangente orizzontale)

$f'(x_0) = 0$ non garantisce un massimo o un minimo. È condizione necessaria, non sufficiente.

f(x) = x^3 \qquad f'(x) = 3x^2 \qquad f'(0) = 0

ma in $x = 0$ la funzione non ha né massimo né minimo: cresce prima e cresce dopo. La derivata si annulla, la tangente è orizzontale, e la funzione tira dritto.

Per questo il segno di $f'$ attorno al punto va sempre studiato: annullarsi non basta.

I punti di non derivabilità nel grafico

Se durante il punto 6 trovi un punto dove $f'$ non esiste ma $f$ sì, quel punto va nel grafico con la sua forma:

cuspide — i limiti di $f'$ sono infiniti e di segno opposto: il grafico ha una punta acuminata con tangente verticale;
punto angoloso — i limiti sono finiti e diversi: uno spigolo.

Sono i punti che si perdono più facilmente, perché la derivata calcolata come formula non dice nulla: bisogna guardare i limiti della derivata.

Esercizio. Studia $f(x) = \dfrac{x^2}{x - 1}$ e tracciane il grafico.

Mostra la soluzione

1. Dominio. $x - 1 \ne 0 \Rightarrow D = \{x \ne 1\}$ .

2. Simmetrie. $f(-x) = \dfrac{x^2}{-x-1}$ , che non è né $f(x)$ né $-f(x)$ : nessuna simmetria.

3. Intersezioni. $f(x) = 0 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$ . Passa per l’origine, che è anche l’intersezione con l’asse $y$ .

4. Segno. Il numeratore $x^2$ è sempre $\ge 0$ , quindi il segno lo decide il denominatore:

f(x) > 0 \;\text{ per } x > 1 \qquad f(x) < 0 \;\text{ per } x < 1,\; x \ne 0

5. Limiti e asintoti. In $x=1$ il denominatore si annulla e il numeratore vale 1:

\lim_{x\to 1^-} f(x) = -\infty \qquad \lim_{x\to 1^+} f(x) = +\infty \qquad\Rightarrow\qquad x = 1 \text{ asintoto verticale}

All’infinito il grado sopra supera quello sotto, quindi $f \to \pm\infty$ : nessun orizzontale, cerco l’obliquo.

m = \lim_{x\to\infty}\frac{x^2}{x^2 - x} = 1 \qquad q = \lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2}{x-1} - x\right) = \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x-1} = 1

Asintoto obliquo: $y = x + 1$ .

6. Derivata. Regola del quoziente, con $f = x^2$ e $g = x-1$ :

f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}

Il denominatore è un quadrato, quindi sempre positivo: il segno di $f'$ è quello del numeratore $x(x-2)$ , positivo fuori da $[0,2]$ .

zona	segno di $f'$	$f$
$x < 0$	$+$	cresce
$0 < x < 1$	$-$	decresce
$1 < x < 2$	$-$	decresce
$x > 2$	$+$	cresce

In $x = 0$ : $f'$ passa da $+$ a $-$ → massimo, con $f(0) = 0$ . In $x = 2$ : da $-$ a $+$ → minimo, con $f(2) = 4$ .

7. Grafico. Ramo sinistro che cresce fino al massimo in $(0,0)$ , poi scende verso $-\infty$ avvicinandosi ad $x=1$ ; ramo destro che scende da $+\infty$ fino al minimo $(2,4)$ e poi risale lungo l’obliquo $y = x+1$ .

Verifica. Il massimo vale 0 e il minimo vale 4: il massimo è più basso del minimo, cosa impossibile per una funzione continua — ed è proprio la prova che l’asintoto verticale spezza il grafico in due rami separati. Sono massimo e minimo relativi, ciascuno nel suo ramo. Se ti sembra un errore, è invece la conferma che il punto 5 e il punto 6 raccontano la stessa storia.