La circonferenza

La circonferenza è il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso, il centro; quella distanza costante è il raggio. Tradurre questa frase in equazione richiede una cosa sola — la formula della distanza fra due punti — e il risultato si legge, come sempre in geometria analitica, direttamente dai coefficienti.

Il caso

$$(x-1)^2 + (y+2)^2 = 4$$

Centro e raggio sono già scritti: $C(1,\,-2)$ e $r = 2$.

La regola: forma canonica

$$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \qquad C(x_0,\,y_0)$$

$x$ e $y$ sono le incognite — le coordinate di un punto qualunque della curva — mentre $x_0$, $y_0$ e $r$ sono numeri, i dati che identificano quella circonferenza e non un’altra.

Non c’è niente da imparare a memoria: è il teorema di Pitagora scritto sul triangolo che ha per ipotenusa il raggio.

La forma generale

Sviluppando i quadrati e portando tutto a sinistra si ottiene la forma in cui gli esercizi arrivano quasi sempre:

$$x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0$$ $$C\left(-\frac{\alpha}{2},\; -\frac{\beta}{2}\right) \qquad r = \sqrt{\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(\frac{\beta}{2}\right)^2 - \gamma}$$

Due segnali per riconoscerla: i coefficienti di $x^2$ e $y^2$ sono uguali, e non c’è nessun termine in $xy$. Se manca una delle due condizioni, non è una circonferenza.

Un esempio completo:

$$x^2+y^2+4x-10y+20 = 0 \qquad \alpha = 4,\;\; \beta = -10,\;\; \gamma = 20$$ $$C(-2,\,5) \qquad r = \sqrt{4 + 25 - 20} = \sqrt{9} = 3$$

La condizione di esistenza

Perché la radice esista basta un radicando $\geq 0$. Ma un raggio nullo non disegna una circonferenza: disegna il solo centro. Quindi la condizione perché quell’equazione rappresenti davvero una circonferenza è

$$\left(\frac{\alpha}{2}\right)^2 + \left(\frac{\beta}{2}\right)^2 - \gamma > 0$$

e i due casi esclusi non sono equivalenti: se il radicando è nullo resta un punto solo (circonferenza degenere), se è negativo non resta niente. Non è un formalismo: esistono equazioni con la forma giusta che non disegnano nulla.

$$x^2+y^2+2x-8y+19 = 0 \qquad C(-1,\,4) \qquad r = \sqrt{1 + 16 - 19} = \sqrt{-2}$$

La radice di un numero negativo non esiste: quella circonferenza non c’è. Il centro si calcola lo stesso — le formule non protestano — ed è proprio per questo che il controllo va fatto.

Dal centro e dal raggio all’equazione

Il percorso inverso è meccanico: si scrive la forma canonica e si sviluppa. Con $C(-2,\,1)$ e $r = 5$:

$$(x+2)^2 + (y-1)^2 = 25$$ $$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2+y^2+4x-2y-20 = 0$$

Retta e circonferenza

Ci sono due modi di rispondere, e danno sempre lo stesso risultato:

• per via geometrica, confrontando la distanza $d$ fra il centro e la retta con il raggio. La distanza di un punto $P(x_0,y_0)$ da una retta scritta in forma implicita $ax+by+c=0$ è $d = \dfrac{\lvert a x_0 + b y_0 + c\rvert}{\sqrt{a^2+b^2}}$ — il valore assoluto perché una distanza non è mai negativa;
• per via algebrica, mettendo a sistema le due equazioni e guardando il discriminante.

$$\begin{aligned} d &< r \;\Leftrightarrow\; \Delta > 0 \;\text{(secante)} \\ d &= r \;\Leftrightarrow\; \Delta = 0 \;\text{(tangente)} \\ d &> r \;\Leftrightarrow\; \Delta < 0 \;\text{(esterna)} \end{aligned}$$

È la stessa condizione di tangenza vista con la parabola, con un vantaggio: sulla circonferenza il criterio non ha eccezioni. Qualunque retta si sostituisca, anche una verticale, l’equazione che ne esce è sempre di secondo grado, quindi un $\Delta$ da guardare c’è sempre. Sulla parabola invece la retta parallela all’asse fa eccezione, come si è visto.