Forma trigonometrica ed esponenziale

In forma algebrica somma e sottrazione sono comode, ma il prodotto è laborioso e la potenza $(1+i)^8$ è una punizione. Cambiando il modo di individuare il punto sul piano di Gauss — non più “quanto a destra e quanto in alto”, ma “quanto lontano e in che direzione” — quelle stesse operazioni diventano banali.

Il caso

$$(1+i)^8$$

Svolgere l’ottava potenza di un binomio è impensabile. Ma $1+i$ è un punto che dista $\sqrt{2}$ dall’origine e sta a $45°$: elevare alla ottava significa allungare il modulo e moltiplicare l’angolo per 8. Il risultato, come si vedrà, è semplicemente $16$.

La regola

Ogni complesso diverso da zero è individuato da due numeri: il modulo $\rho$ (la distanza dall’origine) e l’argomento $\theta$, cioè l’angolo fra il vettore e il semiasse reale positivo, misurato in verso antiorario e definito a meno di giri completi. Per $z = 0$ il modulo è nullo e l’argomento non è definito: non c’è nessuna direzione da indicare.

$$\rho = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad \theta = \arctan\frac{b}{a} \quad (a \neq 0)$$ $$z = \rho\,(\cos\theta + i\sin\theta) = \rho\,e^{i\theta}$$

Le tre scritture hanno nomi diversi — algebrica $a+ib$, trigonometrica $\rho(\cos\theta + i\sin\theta)$, esponenziale (o polare) $\rho e^{i\theta}$ — ma sono lo stesso numero visto in tre modi.

Il ponte fra la seconda e la terza è la formula di Eulero:

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

Prodotto, quoziente, potenza

Nella forma esponenziale le regole delle potenze fanno tutto il lavoro:

$$z_1 z_2 = \rho_1\rho_2\,e^{i(\theta_1 + \theta_2)} \qquad \frac{z_1}{z_2} = \frac{\rho_1}{\rho_2}\,e^{i(\theta_1 - \theta_2)}$$ $$z^n = \rho^n\,e^{i\,n\theta} \qquad (n \text{ intero})$$

L’ultima è la formula di De Moivre, e l’ipotesi ”$n$ intero” non è un dettaglio: con esponenti frazionari la scrittura non è più ben definita, ed è esattamente il motivo per cui le radici, fra due paragrafi, richiedono un trattamento a parte.

Detto a parole: i moduli si moltiplicano, gli argomenti si sommano. Moltiplicare per un complesso è quindi una rotazione di $\theta$ composta con un cambio di scala di fattore $\rho$: ingrandisce se $\rho > 1$, rimpicciolisce se $\rho < 1$, ed è una rotazione pura se $\rho = 1$ — il caso di gran lunga più usato.

Un prodotto:

$$3e^{i\frac{\pi}{3}} \cdot 2e^{i\frac{\pi}{6}} = 6\,e^{i\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\right)} = 6\,e^{i\frac{\pi}{2}} = 6i$$

E il caso di apertura, che ora è immediato:

$$1 + i = \sqrt{2}\,e^{i\frac{\pi}{4}} \quad\Longrightarrow\quad (1+i)^8 = \left(\sqrt{2}\right)^8 e^{i\,8\cdot\frac{\pi}{4}} = 16\,e^{i2\pi} = 16$$

Le radici n-esime

Qui la forma esponenziale non è comoda: è necessaria. In $\mathbb{C}$ l’equazione $z^n = w$, con $w \neq 0$, ha esattamente $n$ soluzioni distinte — l’unica eccezione è $w = 0$, che dà solo $z = 0$. Per trovarle serve un accorgimento: l’argomento di $w$ non è unico, perché aggiungere un giro completo non cambia il punto.

$$z^n = w = \lvert w\rvert\,e^{i(\theta_w + 2k\pi)} \quad\Longrightarrow\quad z_k = \sqrt[n]{\lvert w \rvert}\;e^{\,i\,\frac{\theta_w + 2k\pi}{n}} \qquad k = 0,\,1,\,\dots,\,n-1$$

Il metodo, in tre passi: 1. scrivi $w$ in forma esponenziale; 2. estrai la radice $n$-esima del modulo e dividi l’angolo per $n$, con il $2k\pi$; 3. fai variare $k$ da $0$ a $n-1$ — oltre, le soluzioni si ripetono.

Con $z^4 = 16$: il modulo è $\sqrt[4]{16} = 2$ e l’argomento di $16$ è $0$.

$$z_k = 2\,e^{\,i\frac{2k\pi}{4}} \qquad z_0 = 2,\quad z_1 = 2e^{i\frac{\pi}{2}} = 2i,\quad z_2 = 2e^{i\pi} = -2,\quad z_3 = 2e^{i\frac{3\pi}{2}} = -2i$$