Scomposizione: raccoglimento e differenza di quadrati

Scomporre significa riscrivere una somma come prodotto. Serve dappertutto: per semplificare una frazione algebrica devi avere fattori, non addendi; per risolvere un’equazione ti serve un prodotto uguale a zero. La maggior parte degli esercizi si chiude con due soli strumenti.

Primo caso: raccoglimento a fattor comune

Se tutti i termini contengono lo stesso fattore, lo si mette fuori:

6x^3 - 9x^2 = 3x^2\,(2x - 3)

Il fattore da raccogliere è il massimo comune divisore dei coefficienti ( $3$ ) per la potenza più bassa della lettera comune ( $x^2$ ). Non serve indovinare: si guarda termine per termine.

Quando il primo termine è negativo si raccoglie il segno meno insieme al fattore, e allora tutti i segni dentro la parentesi cambiano:

-4t^2 - 8tx \;=\; -4t\,(t + 2x)

Prova a rifare il prodotto: $-4t \cdot t = -4t^2$ e $-4t \cdot 2x = -8tx$ . Torna. Se avessi scritto $-4t\,(t - 2x)$ avresti ottenuto $-4t^2 + 8tx$ : sbagliato.

Il controllo è sempre lo stesso: rimoltiplica e guarda se riottieni il punto di partenza.

Secondo caso: differenza di quadrati

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Il punto non è ricordare la formula: è riconoscere chi fa da $a$ e chi fa da $b$ . Si scrive esplicitamente, sempre:

25a^2 - 4x^2 \;=\; \underbrace{(5a)^2}_{a\,\to\,5a} - \underbrace{(2x)^2}_{b\,\to\,2x} \;=\; (5a - 2x)(5a + 2x)

Perché una scrittura sia un quadrato servono due cose: il coefficiente deve essere un quadrato perfetto ( $25 = 5^2$ , $4 = 2^2$ ) e l’esponente della lettera deve essere pari.

Le due formule più confuse dell’algebra sono queste, e non sono la stessa cosa:

\underbrace{a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)}_{\text{differenza di quadrati}} \qquad\neq\qquad \underbrace{(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2}_{\text{quadrato di un binomio}}

A sinistra parti da due termini e ne ottieni un prodotto; a destra parti da un quadrato e ne ottieni tre termini. Il doppio prodotto $-2ab$ è la spia: se non c’è, non è un quadrato di binomio.

E attenzione: la somma di quadrati $a^2 + b^2$ non si scompone (nei numeri reali).

Terzo caso: raccoglimento parziale

Quando i termini sono quattro e nessun fattore è comune a tutti, si raccoglie a gruppi e si spera che compaia lo stesso binomio due volte:

\begin{aligned} ax + ay + bx + by &= \underbrace{a(x+y)}_{\text{primi due}} + \underbrace{b(x+y)}_{\text{ultimi due}} \\[4pt] &= (x+y)(a+b) \end{aligned}

Se il binomio in parentesi non viene uguale nei due gruppi, il raggruppamento era sbagliato: si riprova cambiando l’accoppiamento, non si insiste.

L’ordine in cui provare, davanti a un polinomio qualsiasi:

raccoglimento totale — c’è un fattore comune a tutti? Sempre per primo;
conta i termini: due → differenza di quadrati; tre → quadrato di binomio o trinomio caratteristico; quattro → raccoglimento parziale;
rimoltiplica per verificare.

Esercizio. Scomponi in fattori:

$12x^3y - 18x^2y^2$
$49m^2 - 9n^2$
$-5a^2 - 15ab$
$2x^3 + 6x^2 - 8x - 24$

Mostra la soluzione

1. Raccoglimento totale. MCD dei coefficienti: $6$ ; potenze più basse: $x^2$ e $y$ .

12x^3y - 18x^2y^2 = 6x^2y\,(2x - 3y)

2. Due termini, entrambi quadrati: differenza di quadrati con $a \to 7m$ e $b \to 3n$ .

49m^2 - 9n^2 = (7m)^2 - (3n)^2 = (7m - 3n)(7m + 3n)

3. Primo termine negativo: raccolgo il meno insieme al fattore comune $5a$ .

-5a^2 - 15ab = -5a\,(a + 3b)

Verifica: $-5a \cdot a = -5a^2$ , $-5a \cdot 3b = -15ab$ . ✓

4. Quattro termini. Prima raccolgo il $2$ comune a tutti, poi procedo a gruppi:

\begin{aligned} 2x^3 + 6x^2 - 8x - 24 &= 2\,(x^3 + 3x^2 - 4x - 12) \\[4pt] &= 2\left[\,x^2(x + 3) - 4(x + 3)\,\right] \\[4pt] &= 2\,(x + 3)(x^2 - 4) \end{aligned}

Non è finita: $x^2 - 4$ è ancora una differenza di quadrati.

= 2\,(x + 3)(x - 2)(x + 2)

Verifica. Il grado dei fattori deve sommare al grado di partenza: $1 + 1 + 1 = 3$ , e il polinomio iniziale era di terzo grado. ✓ E nel terzo passaggio nota il $-4$ raccolto col segno: $-8x - 24 = -4(x+3)$ , non $+4(x+3)$ .