Equazioni di secondo grado

Un’equazione è di secondo grado quando, ridotta a forma normale, l’incognita compare al quadrato:

ax^2 + bx + c = 0 \qquad\text{con}\qquad a \ne 0

La condizione $a \ne 0$ non è un dettaglio: se $a$ fosse zero il termine in $x^2$ sparirebbe e l’equazione sarebbe di primo grado.

Prima di tutto: che tipo è?

Non tutte richiedono la formula. Guardando quali coefficienti sono nulli si riconoscono quattro casi, e tre si risolvono più in fretta della formula generale.

tipo	forma	condizione
completa	$ax^2 + bx + c = 0$	$b \ne 0$ , $c \ne 0$
pura	$ax^2 + c = 0$	$b = 0$
spuria	$ax^2 + bx = 0$	$c = 0$
monomia	$ax^2 = 0$	$b = 0$ , $c = 0$

Pura — si isola $x^2$ e si estrae la radice:

ax^2 + c = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 = -\frac{c}{a} = k \qquad \begin{cases} k > 0 & x = \pm\sqrt{k} \\[4pt] k < 0 & S = \varnothing \end{cases}

Il caso $k < 0$ non ha soluzioni reali perché un quadrato non è mai negativo: $x^2 = -4$ non è verificata da nessun numero reale.

Spuria — si raccoglie la $x$ e si usa la legge di annullamento del prodotto:

3x^2 - 24x = 0 \;\Longrightarrow\; 3x(x - 8) = 0 \;\Longrightarrow\; x = 0 \;\;\lor\;\; x = 8

Monomia — $ax^2 = 0$ dà $x = 0$ (soluzione doppia).

La legge di annullamento del prodotto: un prodotto è zero se e solo se è zero almeno uno dei fattori.

A \cdot B = 0 \iff A = 0 \;\lor\; B = 0

È il motivo per cui le spurie si risolvono senza formula, ed è anche il motivo per cui scomporre serve: ogni volta che riesci a scrivere un’equazione come prodotto uguale a zero, hai finito.

La formula risolutiva

Per l’equazione completa:

x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

La quantità sotto radice è il discriminante, $\Delta = b^2 - 4ac$ , e decide quante soluzioni esistono:

$\Delta$	soluzioni
$\Delta > 0$	due soluzioni distinte
$\Delta = 0$	una soluzione doppia, $x = -\dfrac{b}{2a}$
$\Delta < 0$	nessuna soluzione reale

Prima di applicare la formula, porta l’equazione in forma normale: tutto a sinistra, zero a destra, termini simili sommati. I coefficienti $a$ , $b$ , $c$ si leggono solo da lì, col loro segno.

In $2x^2 - 5x + 3 = 0$ il coefficiente $b$ è $-5$ , non $5$ . Dimenticare il segno dentro la formula è l’errore più comune, e produce due soluzioni sbagliate senza che nulla sembri strano.

Quando conviene non usare la formula

La formula funziona sempre, ma non è sempre la strada più corta. Davanti a $x^2 - x = 0$ ci sono due modi:

con il discriminante: $a = 1$ , $b = -1$ , $c = 0$ , $\Delta = 1$ , poi la formula;
raccogliendo: $x(x-1) = 0$ , quindi $x = 0$ o $x = 1$ .

Il secondo è più veloce e meno esposto a errori di segno. Guarda sempre prima se manca un coefficiente: se manca $c$ raccogli, se manca $b$ estrai la radice, e tieni la formula per le complete.

Esercizio. Risolvi, scegliendo ogni volta il metodo più conveniente:

$x^2 - 49 = 0$
$2x^2 + 6x = 0$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
$x^2 + 2x + 5 = 0$

Mostra la soluzione

1. Manca $b$ : è pura.

x^2 = 49 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 7

(Si può anche vedere come differenza di quadrati: $(x-7)(x+7) = 0$ .)

2. Manca $c$ : è spuria, si raccoglie.

2x(x + 3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 0 \;\lor\; x = -3

3. Completa: $a = 1$ , $b = -5$ , $c = 6$ .

\Delta = 25 - 24 = 1 \qquad x_{1,2} = \frac{5 \pm 1}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad x_1 = 3,\; x_2 = 2

4. Completa: $a = 1$ , $b = 2$ , $c = 5$ .

\Delta = 4 - 20 = -16 < 0 \qquad\Longrightarrow\qquad S = \varnothing

Verifica. Per le complete c’è un controllo veloce: la somma delle soluzioni deve valere $-b/a$ e il prodotto $c/a$ . Nel punto 3: somma $3 + 2 = 5 = -(-5)/1$ ✓, prodotto $3 \cdot 2 = 6 = 6/1$ ✓. Se non torna, l’errore è nel segno di $b$ .