Le derivate — filoconduttore

La derivata risponde a una domanda geometrica: quanto è inclinata la curva in un punto? Per una retta la risposta era il coefficiente angolare, uguale ovunque. Per una curva cambia punto per punto, e la derivata è il modo di calcolarla.

Dal rapporto incrementale alla tangente

Curva con la retta secante fra due punti e la tangente nel punto x0, con il triangolo incrementale

Presi due punti sulla curva, la pendenza della secante è il rapporto incrementale:

\frac{\Delta f}{h} = \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

Avvicinando il secondo punto al primo ( $h \to 0$ ) la secante ruota fino a diventare la tangente. La sua pendenza è la derivata:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

$f'(x_0)$ è il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto $x_0$ . Tutto il resto — massimi, minimi, crescenza — sono conseguenze di questa frase.

In particolare: tangente orizzontale $\iff f'(x_0) = 0$ . È il fatto che risolve la maggior parte degli esercizi con parametri: se il testo dice “la tangente in $x = -1$ è orizzontale”, la traduzione è $f'(-1) = 0$ , e da lì si ricava il parametro.

Le regole

Le derivate delle funzioni elementari si conoscono a memoria:

$f(x)$	$f'(x)$
$k$ (costante)	$0$
$x^n$	$n\,x^{n-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$

E si combinano con quattro regole:

(f \pm g)' = f' \pm g' \qquad (k\,f)' = k\,f'

(f \cdot g)' = f'g + fg' \qquad \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}

La derivata di un prodotto non è il prodotto delle derivate.

\underbrace{(f\cdot g)' = f'g + fg'}_{\text{corretto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{(f\cdot g)' = f' \cdot g'}_{\text{sbagliato}}

Prova con $f = g = x$ : a sinistra $(x^2)' = 2x$ , a destra darebbe $1 \cdot 1 = 1$ . Solo somma e sottrazione “passano attraverso” la derivata; prodotto e quoziente no.

E attenzione all’ordine nel quoziente: al numeratore è $f'g - fg'$ , non $fg' - f'g$ . Il segno conta, e scambiarli cambia il risultato.

La funzione composta

È il caso più frequente e quello dove si sbaglia: quando dentro una funzione ce n’è un’altra.

\big[f(u)\big]' = f'(u) \cdot u'

Il metodo è identificare la funzione interna $u$ prima di derivare, scrivendola esplicitamente:

y = \cos\big(\underbrace{\ln(x+1)}_{u}\big) \qquad\Longrightarrow\qquad y' = -\sin\big(\ln(x+1)\big) \cdot \underbrace{\frac{1}{x+1}}_{u'}

Un secondo esempio, con l’esponenziale:

y = 3e^{x^3} \qquad\Longrightarrow\qquad y' = 3\,e^{x^3} \cdot 3x^2 = 9x^2 e^{x^3}

Davanti a una composta, sottolinea la $u$ interna sul foglio prima di scrivere qualsiasi cosa. Il pezzo che si dimentica è sempre lo stesso: il fattore $u'$ finale. Se la derivata di una composta ti viene senza nessun fattore extra, quasi certamente l’hai persa.

Punti di non derivabilità

Una funzione può essere continua ma non derivabile in un punto: il grafico c’è, ma la tangente non è unica. Si riconoscono dai limiti della derivata da destra e da sinistra:

caso	limiti di $f'$	il grafico
cuspide	$+\infty$ e $-\infty$ (segni opposti)	tangente verticale, punta acuminata
flesso a tangente verticale	entrambi $\pm\infty$ , stesso segno	tangente verticale, senza punta
punto angoloso	due valori finiti diversi	spigolo

Esercizio.

Deriva $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ .
Deriva $g(x) = x^2 \ln x$ .
Deriva $h(x) = \sin(3x^2 + 1)$ .
Della funzione $f(x) = x^2 - 4x + 1$ , trova il punto in cui la tangente è orizzontale.

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1. Termine per termine, con la regola della potenza:

f'(x) = 12x^3 - 4x

2. Prodotto: $f = x^2$ , $g = \ln x$ .

g'(x) = 2x\ln x + x^2 \cdot \frac{1}{x} = 2x\ln x + x = x\,(2\ln x + 1)

3. Composta, con $u = 3x^2 + 1$ e $u' = 6x$ :

h'(x) = \cos(3x^2+1) \cdot 6x = 6x\cos(3x^2+1)

4. Tangente orizzontale significa derivata nulla:

f'(x) = 2x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 2

E l’ordinata: $f(2) = 4 - 8 + 1 = -3$ , quindi il punto è $(2,\,-3)$ .

Verifica. Il punto 4 è il vertice della parabola $y = x^2-4x+1$ , e con la formula nota $x_V = -\frac{b}{2a} = \frac{4}{2} = 2$ ✓. Derivata e geometria analitica devono dare lo stesso punto — quando due strade diverse concordano, il risultato è solido.