I logaritmi — filoconduttore

Nella lezione precedente le equazioni si risolvevano portando tutto alla stessa base. Ma $2^x = 10$ non si può: $10$ non è una potenza di $2$ con esponente intero. Serve un’operazione che faccia la domanda al contrario — a quale esponente devo elevare $2$ per ottenere $10$ ? — e quell’operazione è il logaritmo.

Il caso

\log_2 x = 2

Basta leggerla ad alta voce come è definita: l’esponente da dare a $2$ per ottenere $x$ vale $2$ . Quindi

2^2 = x \quad\Longrightarrow\quad x = 4

Non c’è nessuna tecnica: si è solo riscritta la stessa frase nell’altro verso.

La regola

\log_a b = c \quad\Longleftrightarrow\quad a^c = b \qquad (a > 0,\; a \neq 1,\; b > 0)

Il logaritmo è un esponente. Non è un simbolo nuovo da manipolare con regole nuove: è la risposta alla domanda “a che potenza?”. Ogni volta che un logaritmo si blocca, si riscrive nella forma $a^c = b$ e si sblocca.

Da qui escono subito tre casi che conviene riconoscere a vista:

scrittura	perché	vale
$\log_a a$	$a^1 = a$	$1$
$\log_a 1$	$a^0 = 1$	$0$
$\log_a a^k$	$a^k = a^k$	$k$

L’ultima è quella che si usa di più. Un esempio:

\log_2 \frac{1}{16} = \log_2 2^{-4} = -4

Il passaggio vero è il primo, riconoscere $\frac{1}{16}$ come $2^{-4}$ : fatto quello, il logaritmo si limita a leggere l’esponente.

Il grafico: è l’esponenziale allo specchio

Grafico di y = log x ottenuto riflettendo y = a^x rispetto alla bisettrice y = x: asintoto verticale sull'asse y e passaggio per (1,0)

Logaritmo ed esponenziale sono una l’inversa dell’altra, quindi i due grafici sono simmetrici rispetto alla bisettrice $y = x$ . Da questa simmetria si leggono, senza impararle, tutte le proprietà che servono:

l’esponenziale passa per $(0,\,1)$ → il logaritmo passa per $(1,\,0)$ ;
l’esponenziale è sempre positiva → il logaritmo esiste solo per argomenti positivi;
l’asintoto orizzontale $y = 0$ diventa l’asintoto verticale $x = 0$ ;
l’esponenziale cresce se $a > 1$ e decresce se $0 < a < 1$ → il suo logaritmo fa lo stesso: con base fra $0$ e $1$ è decrescente — argomento più grande, logaritmo più piccolo. Il grafico sopra mostra il caso $a > 1$ .

Le tre proprietà

\log_a (m \cdot n) = \log_a m + \log_a n \qquad \log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n

\log_a m^k = k \cdot \log_a m

Sono le proprietà delle potenze lette al contrario: moltiplicare le potenze significa sommare gli esponenti, e i logaritmi sono esponenti.

Nella pratica si usano quasi sempre da destra a sinistra, per comprimere una somma in un solo logaritmo.

Una nota sulla scrittura, perché da qui in poi la base sparisce: $\log$ senza base indica la base 10 (quella del tasto log della calcolatrice), mentre $\ln$ è il logaritmo naturale, in base $e \approx 2{,}718$ — il numero di Nepero, che hai intravisto nella lezione sull’esponenziale. Le proprietà valgono identiche per ogni base, ed è per questo che si può non scriverla. Un esempio con tutte e tre in fila:

\log \frac{9}{4} + \log \frac{4}{3} - \log \frac{3}{4} = \log\left(\frac{9}{4} \cdot \frac{4}{3} \cdot \underbrace{\frac{4}{3}}_{\text{era } -\log\frac{3}{4}}\right) = \log 4

Il pezzo da notare è il terzo: una sottrazione diventa una moltiplicazione per il reciproco. Chi scrive $\cdot\frac{3}{4}$ invece di $\cdot\frac{4}{3}$ ha sbagliato tutto l’esercizio in un punto solo.

Il logaritmo di una somma non è la somma dei logaritmi.

\underbrace{\log(m \cdot n) = \log m + \log n}_{\text{vero}} \qquad\neq\qquad \underbrace{\log(m + n) = \log m + \log n}_{\text{falso}}

Prova con $\log_2(4 + 4)$ : a sinistra $\log_2 8 = 3$ , a destra darebbe $2 + 2 = 4$ . La proprietà trasforma prodotti in somme, mai somme in somme.

Il cambio di base

Quando in una stessa espressione compaiono basi diverse, non si può semplificare niente finché non si riportano a una base sola:

\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

La base $c$ la scegli tu: si prende quella che rende i conti interi. Nel caso classico $\log_3 18 - \log_9 4$ conviene $c = 3$ , perché $9 = 3^2$ :

\log_9 4 = \frac{\log_3 4}{\log_3 9} = \frac{\log_3 4}{2} = \frac{1}{2}\log_3 4 = \log_3 4^{\frac{1}{2}} = \log_3 2

\log_3 18 - \log_3 2 = \log_3 \frac{18}{2} = \log_3 9 = 2

Lo stesso ragionamento serve quando la base non è nemmeno intera. $\log_{2\sqrt{2}} 4$ si affronta tornando alla definizione:

(2\sqrt{2})^x = 4 \quad\Longrightarrow\quad \left(2^{\frac{3}{2}}\right)^x = 2^2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{2}x = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{4}{3}

Le equazioni logaritmiche

Il metodo è sempre lo stesso: comprimere i due membri in un logaritmo solo, poi togliere i logaritmi e risolvere. Ma prima di tutto si scrive il campo di esistenza.

\log(x+8) = 2\log 3 - \log x

Campo di esistenza. Ogni argomento deve essere positivo: $x + 8 > 0$ e $x > 0$ , quindi $x > 0$ .

Compressione. Si porta $\log x$ a sinistra e si usano le proprietà:

\log\big(x(x+8)\big) = \log 9

Stessa base, stesso argomento.

x^2 + 8x - 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \;\lor\; x = -9

Filtro finale. $x = -9$ non rispetta $x > 0$ : si scarta. Resta $x = 1$ .

Una soluzione negativa non è automaticamente da buttare: va confrontata con il campo di esistenza, non con il segno.

\underbrace{\log(x+8) = 2\log 3 - \log x \;\Longrightarrow\; x = -9 \text{ scartata}}_{\text{CE: } x > 0}

\underbrace{\ln\frac{2x+3}{x-2} = 0 \;\Longrightarrow\; x = -5 \text{ accettabile}}_{\text{CE: } x < -\frac{3}{2} \,\lor\, x > 2}

Nel secondo caso l’argomento è una frazione, e una frazione è positiva anche quando numeratore e denominatore sono entrambi negativi: $x = -5$ dà $\frac{-7}{-7} = 1 > 0$ , quindi va bene. Il campo di esistenza si risolve come una disequazione fratta, con la tabella dei segni — non a occhio.

Il campo di esistenza si scrive prima di risolvere, non dopo. Scritto prima è un vincolo che guida; scritto dopo diventa una verifica che ci si dimentica di fare, ed è esattamente lì che l’esercizio si perde.

Esercizio.

Calcola senza calcolatrice: $\log_2 64$ , $\;\log_{1/3} 9$ , $\;\log_4 32$ .
Semplifica: $\log_2 40 - \log_2 5$ .
Calcola $\log_8 32$ con il cambio di base.
Risolvi: $\log(x-1) + \log(x+2) = \log 4$ .
Risolvi: $\ln \dfrac{2x+1}{x-3} = 0$ .

Mostra la soluzione

1. Tutti e tre si leggono come esponenti.

\log_2 64 = \log_2 2^6 = 6

\log_{1/3} 9 = -2 \qquad\text{perché}\qquad \left(\frac{1}{3}\right)^{-2} = 3^2 = 9

\log_4 32 = \frac{5}{2} \qquad\text{perché}\qquad 4^{\frac{5}{2}} = \left(2^2\right)^{\frac{5}{2}} = 2^5 = 32

2. Differenza di logaritmi con la stessa base → logaritmo del quoziente:

\log_2 40 - \log_2 5 = \log_2 \frac{40}{5} = \log_2 8 = 3

3. Base comoda: $2$ , perché $8 = 2^3$ e $32 = 2^5$ .

\log_8 32 = \frac{\log_2 32}{\log_2 8} = \frac{5}{3}

4. Campo di esistenza: $x - 1 > 0$ e $x + 2 > 0$ , quindi $x > 1$ . Compressione e risoluzione:

\log\big((x-1)(x+2)\big) = \log 4 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x - 6 = 0

x = 2 \;\lor\; x = -3

$x = -3$ non rispetta $x > 1$ : si scarta. Resta $x = 2$ .

5. Campo di esistenza: $\frac{2x+1}{x-3} > 0$ , cioè $x < -\frac{1}{2} \lor x > 3$ . Poi si usa $\ln 1 = 0$ :

\frac{2x+1}{x-3} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 1 = x - 3 \quad\Longrightarrow\quad x = -4

$-4 < -\frac{1}{2}$ , quindi è accettabile.

Verifica. Sostituendo $x = -4$ nell’argomento: $\frac{-8+1}{-4-3} = \frac{-7}{-7} = 1$ , e $\ln 1 = 0$ ✓. È lo stesso controllo che smaschera l’errore opposto — scartare $-4$ solo perché è negativo.