La sinusoide: ampiezza, pulsazione e fase

Il grafico di $\sin x$ è uno solo: oscilla fra $-1$ e $1$ , e ci mette $2\pi$ a ripetersi. Una sinusoide vera — una tensione, un suono, un’onda — oscilla quanto vuole, veloce quanto vuole, e non è detto che parta da zero. Servono tre numeri per dirlo.

Il caso

y = A\,\sin(\omega t + \varphi)

Tre parametri, e ciascuno agisce su una cosa sola:

parametro	nome	cosa fa al grafico
$A$	ampiezza	quanto è alta l’oscillazione
$\omega$	pulsazione	quanto è fitta, cioè quanto in fretta oscilla
$\varphi$	fase iniziale	dove si trova l’oscillazione a $t = 0$

Tre grafici affiancati: nel primo l'ampiezza raddoppia e l'onda diventa più alta, nel secondo la pulsazione raddoppia e l'onda si stringe, nel terzo la fase trasla l'onda verso sinistra; in ognuno il seno di riferimento è tratteggiato in grigio

Il tratteggio grigio è sempre lo stesso $\sin t$ . Guardare un parametro alla volta è l’unico modo di non confonderli: sono indipendenti, e ognuno lascia intatto quello che fanno gli altri.

L’ampiezza

$A$ moltiplica tutto il seno, quindi stira il grafico in verticale. Siccome $\sin$ sta fra $-1$ e $1$ :

-A \leq A\sin(\omega t + \varphi) \leq A

L’oscillazione va da $-A$ a $+A$ , e il valore massimo è $A$ . Non cambia né dove passa per zero né ogni quanto si ripete: l’ampiezza non tocca i tempi.

$A$ è per definizione positiva: è una distanza dal valore di riposo, e le distanze non sono negative. Se in un esercizio compare $y = -3\sin(\omega t)$ , l’ampiezza è $3$ , non $-3$ : quel segno meno è un ribaltamento, che si può anche leggere come mezzo giro di fase ( $-\sin\theta = \sin(\theta + \pi)$ ).

Pulsazione, frequenza, periodo

Il periodo $T$ è il tempo di un’oscillazione completa; la frequenza $f = 1/T$ è quante ne entrano in un secondo, e si misura in hertz — dove $1\ \text{Hz} = 1\ \text{s}^{-1}$ .

La pulsazione non è un terzo dato indipendente: si ricava. Il seno compie un ciclo quando il suo argomento avanza di $2\pi$ radianti. Se in un secondo ci sono $f$ cicli, in un secondo l’argomento avanza di $f$ volte $2\pi$ :

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

Ecco perché si misura in radianti al secondo: $\omega$ è la velocità con cui gira il punto sulla circonferenza goniometrica. È il motivo per cui l’argomento del seno vuole i radianti e non i gradi — un angolo diviso un tempo ha senso solo se l’angolo è un numero puro.

$\omega$ non è la frequenza, anche se si dicono quasi allo stesso modo e capita di chiamarla così a voce. $f$ conta i giri al secondo, $\omega$ conta i radianti al secondo, e fra le due c’è un fattore $2\pi \approx 6{,}28$ .

Il controllo veloce: $\omega$ è sempre il numero più grande. Se stai scrivendo $\omega = 50$ per una rete a $50$ Hz, hai saltato il $2\pi$ — il valore giusto è $314$ .

La fase

$\varphi$ dice a che punto dell’oscillazione siamo a $t = 0$ : con $\varphi = 0$ la sinusoide parte da zero salendo, con $\varphi \neq 0$ è la stessa curva traslata orizzontalmente.

Il verso è controintuitivo, ed è l’errore più frequente: una fase positiva trasla verso sinistra, cioè anticipa.

Il motivo si vede senza ricordare regole. Il seno vale zero quando il suo argomento vale zero:

\omega t + \varphi = 0 \quad\Longrightarrow\quad t = -\frac{\varphi}{\omega}

Con $\varphi > 0$ quell’istante è negativo: la curva ha già cominciato prima di $t = 0$ . Chi legge «più fase, più a destra» sbaglia il segno tutte le volte.

E la stessa formula dice anche di quanto si trasla: di $\varphi/\omega$ , non di $\varphi$ — l’asse orizzontale è il tempo, non l’angolo. $\sin(2t + \pi/2)$ è traslata di $\pi/4$ , non di $\pi/2$ : l’errore gemello di quello sul segno, e con $\omega \neq 1$ lo fa anche chi il verso lo ha capito.

Il caso più utile è lo scarto di un quarto di periodo, che manda il seno nel coseno:

\sin\!\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\alpha

Seno e coseno non sono due curve diverse: sono la stessa curva sfasata di $90°$ . Il coseno è il seno con un quarto di giro di anticipo.

$A$ agisce sull’asse verticale, $\omega$ e $\varphi$ su quello orizzontale — e in modi diversi: $\omega$ stringe il grafico, $\varphi$ lo sposta. Un cambio di ampiezza non sposta mai uno zero; un cambio di fase non cambia mai il valore di un massimo — quello lo decide solo $A$ — ma la sua posizione sì: spostarla è esattamente il suo mestiere.

Esercizio. Un segnale vale $y = 4\sin(600\pi\,t + \pi)$ , con $t$ in secondi.

Ampiezza, pulsazione, frequenza e periodo.
Quanto vale a $t = 0$ , e la curva sta salendo o scendendo?
Riscrivilo senza fase, usando il segno.

Mostra la soluzione

1. Si legge per confronto con $A\sin(\omega t + \varphi)$ :

\begin{aligned} A &= 4 \\ \omega &= 600\pi\ \text{rad/s} \\ f &= \frac{\omega}{2\pi} = \frac{600\pi}{2\pi} = 300\ \text{Hz} \\ T &= \frac{1}{f} = \frac{1}{300} \approx 3{,}33\ \text{ms} \end{aligned}

2. A $t = 0$ resta solo la fase:

y(0) = 4\sin(\pi) = 0

Passa per zero, ma scendendo: mezzo periodo di anticipo capovolge il verso. Per convincersene basta un istante subito dopo, con $\omega t$ ancora piccolo — l’argomento supera $\pi$ , dove il seno è negativo.

3. Sfasare di $\pi$ equivale a cambiare segno:

y = 4\sin(600\pi t + \pi) = -4\sin(600\pi t)

Verifica. Tre controlli che possono fallire davvero.

Il primo, sulla frequenza: $\omega$ deve venire più grande di $f$ di un fattore $2\pi$ , e $600\pi \approx 1885$ è molto più di $300$ ✓. Se avessi scritto $f = 600\pi$ moltiplicando invece di dividere, avrei ottenuto una frequenza di $1885$ Hz da una pulsazione più piccola: impossibile.

Il secondo, sul periodo: a $300$ Hz stanno 300 oscillazioni in un secondo, quindi ognuna dura molto meno di un secondo — 3,33 ms sta in piedi. Un periodo di 300 s sarebbe stato il reciproco preso al contrario.

Il terzo, sul punto 3: le due scritture devono dare lo stesso numero in un istante qualsiasi, non solo a $t=0$ dove valgono entrambe zero. A un quarto di periodo, $t = T/4$ , l’argomento $600\pi t$ vale $\pi/2$ : la prima forma dà $4\sin(3\pi/2) = -4$ , la seconda $-4\sin(\pi/2) = -4$ ✓. Verificare solo a $t = 0$ non avrebbe distinto le due dalla forma sbagliata $+4\sin(600\pi t)$ , che a $t=0$ fa zero anche lei.