Disequazioni di grado superiore al secondo

Per il secondo grado c’è la formula risolutiva, e da lì il segno si legge sulla parabola. Dal terzo grado in su la formula non c’è — o è inutilizzabile. Serve un’altra strada, ed è la stessa che hai già usato per le disequazioni fratte: scomporre e studiare il segno pezzo per pezzo.

Il caso

x^5 - 9x^3 \ge 0

Grado cinque: cercare gli zeri con una formula è fuori discussione. Ma il polinomio si scompone raccogliendo $x^3$ :

x^3\,(x^2 - 9) \ge 0

e adesso la domanda non è più “quanto vale questo polinomio”, è “che segno hanno i due fattori”. Un prodotto è positivo quando i suoi fattori sono concordi: è la regola dei segni delle medie, applicata a intervalli invece che a numeri.

La regola

Porta tutto a sinistra e lascia $0$ a destra. Una disequazione fra due polinomi non si affronta finché non è nella forma $P(x) \gtrless 0$ .
Scomponi in fattori — raccoglimento, prodotti notevoli, trinomio, Ruffini.
Studia quando ogni fattore è positivo, uno alla volta.
Grafico dei segni: riporta i risultati sulla stessa retta e moltiplica colonna per colonna.
Leggi la soluzione secondo il verso richiesto.

Il passo 3 si fa sempre con il $>0$ , qualunque sia il verso della disequazione di partenza: il verso serve solo alla fine, per scegliere quali colonne tenere. È la stessa disciplina delle disequazioni fratte — cambia solo che qui i pezzi si moltiplicano invece di dividersi, e la regola dei segni è la stessa.

Torniamo al caso:

x^3 > 0 \;\Longrightarrow\; x > 0 \qquad\qquad x^2 - 9 > 0 \;\Longrightarrow\; x < -3 \;\lor\; x > 3

Su $x^3$ vale la pena fermarsi un secondo: una potenza dispari conserva il segno della base, quindi $x^3$ è positivo esattamente dove lo è $x$ . Una potenza pari no — è positiva ovunque tranne dove si annulla.

zona	$x^3$	$x^2-9$	prodotto
$x < -3$	$-$	$+$	$-$
$-3 < x < 0$	$-$	$-$	$+$
$0 < x < 3$	$+$	$-$	$-$
$x > 3$	$+$	$+$	$+$

Il verso è $\ge$ , quindi tengo le colonne col $+$ e gli zeri, che sono $-3$ , $0$ e $3$ :

S: \; -3 \le x \le 0 \quad\lor\quad x \ge 3

Il coefficiente di testa negativo

-x^3 + x^2 + 2x \le 0

Scomporre con il segno meno davanti è scomodo e si sbaglia. Si cambia segno a tutto — e si rovescia il verso, perché moltiplicare per $-1$ è moltiplicare per un negativo:

\begin{gathered} x^3 - x^2 - 2x \ge 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x\,(x^2 - x - 2) \ge 0 \\[6pt] \Longrightarrow\qquad x\,(x-2)(x+1) \ge 0 \end{gathered}

Tre fattori, tre zeri: $-1$ , $0$ , $2$ . Con tre righe nel grafico dei segni si arriva a

S: \; -1 \le x \le 0 \quad\lor\quad x \ge 2

I fattori che non decidono niente

Alcuni fattori hanno segno costante: non spostano la soluzione, ma cambiano gli zeri, e lì si nascondono gli errori.

Un fattore sempre positivo si può ignorare. In

(x-2)\,\underbrace{(x^2+3)}_{>\,0 \text{ sempre}} < 0

il secondo fattore è somma di un quadrato e di un numero positivo: non si annulla mai e non cambia mai segno. Il segno del prodotto è quello di $x-2$ , quindi $S: x < 2$ . Metterlo nel grafico dei segni non è sbagliato — è solo una riga di $+$ che non serve a niente.

Un quadrato invece un buco lo fa. In

2x^2\,(4x-2) < 0

il fattore $2x^2$ è positivo quasi ovunque: in $x = 0$ vale zero, e un prodotto con un fattore nullo è nullo, non negativo. Quindi

S: \; x < \tfrac{1}{2} \;\text{ con } x \ne 0

Lo zero di un fattore quadrato conta o no a seconda del verso. Stessa disequazione, due versi, due soluzioni diverse:

\underbrace{x\,(x-2)^2 \ge 0 \;\Longrightarrow\; x \ge 0}_{\text{in } x=2 \text{ il prodotto vale } 0,\ \text{e } 0 \ge 0\ \text{va bene}} \qquad\neq\qquad \underbrace{x\,(x-2)^2 > 0 \;\Longrightarrow\; x > 0,\ x \ne 2}_{0 > 0\ \text{è falso: il punto si buca}}

L’errore gemello è semplificare il quadrato: da $x(x-2)^2 \ge 0$ dividere per $(x-2)^2$ e concludere $x \ge 0$ dà per caso la risposta giusta qui, ma è un procedimento sbagliato — stai dividendo per una quantità che può valere zero. Con il verso stretto la stessa mossa ti fa perdere il punto $x = 2$ .

Il quadrato non si toglie: si mette nel grafico dei segni come tutti gli altri, con il suo zero.

Una disequazione di grado alto non si risolve: si scompone. Tutto il lavoro sta nel passare da un polinomio a un prodotto di fattori di primo e secondo grado, perché di quelli il segno si sa leggere.

Se non riesci a scomporre, non sei bloccato sulla disequazione — sei bloccato sulla scomposizione, ed è lì che devi tornare.

Esercizio. Risolvi:

$x^3 - 4x^2 + 4x \ge 0$
$x^3 - 9x < 0$
$-2x\,(2x-3)(2x+3) \ge 0$
$x^4 - 5x^2 + 4 > 0$
$x^3 - 7x + 6 > 0$

Mostra la soluzione

1. Raccolgo $x$ , e resta un quadrato di binomio:

x\,(x^2 - 4x + 4) \ge 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x\,(x-2)^2 \ge 0

$(x-2)^2$ è positivo ovunque tranne in $x=2$ , dove vale zero. Il segno del prodotto è quindi quello di $x$ , e in $x = 2$ il prodotto è nullo — accettabile, perché il verso è $\ge$ :

S: \; x \ge 0

2. $x(x^2-9) < 0$ , cioè $x(x-3)(x+3) < 0$ . Zeri: $-3$ , $0$ , $3$ .

zona	$x$	$x-3$	$x+3$	prodotto
$x < -3$	$-$	$-$	$-$	$-$
$-3 < x < 0$	$-$	$-$	$+$	$+$
$0 < x < 3$	$+$	$-$	$+$	$-$
$x > 3$	$+$	$+$	$+$	$+$

Serve il $-$ , e il verso è stretto (zeri esclusi):

S: \; x < -3 \quad\lor\quad 0 < x < 3

3. Cambio segno a tutto e rovescio il verso:

2x\,(2x-3)(2x+3) \le 0

Zeri: $0$ , $\tfrac{3}{2}$ , $-\tfrac{3}{2}$ . Il grafico dei segni dà il $-$ prima di $-\tfrac32$ e fra $0$ e $\tfrac32$ ; gli zeri sono inclusi perché il verso è $\le$ :

S: \; x \le -\tfrac{3}{2} \quad\lor\quad 0 \le x \le \tfrac{3}{2}

4. È biquadratica: si scompone come trinomio in $x^2$ . Le radici di $t^2-5t+4$ sono $t=1$ e $t=4$ , quindi

x^4 - 5x^2 + 4 = (x^2-1)(x^2-4) = (x-1)(x+1)(x-2)(x+2)

Quattro zeri: $-2, -1, 1, 2$ . Con quattro fattori il segno si alterna a ogni zero, e all’esterno (dove tutti i fattori sono concordi) il prodotto è positivo:

S: \; x < -2 \quad\lor\quad -1 < x < 1 \quad\lor\quad x > 2

5. Niente da raccogliere, e non è biquadratica: è il caso in cui serve Ruffini. Provo i divisori del termine noto ( $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ ): con $x=1$ ottengo $1 - 7 + 6 = 0$ , quindi $(x-1)$ divide. La divisione dà quoziente $x^2 + x - 6$ , che si scompone come trinomio:

x^3 - 7x + 6 = (x-1)(x^2+x-6) = (x-1)(x+3)(x-2)

Zeri: $-3$ , $1$ , $2$ . Il grafico dei segni a tre righe dà il $+$ fra $-3$ e $1$ e dopo $2$ , zeri esclusi per il verso stretto:

S: \; -3 < x < 1 \quad\lor\quad x > 2

Verifica. Un valore per zona nella disequazione di partenza. Nel punto 4, con $x = 0$ : $0 - 0 + 4 = 4 > 0$ ✓, coerente con la zona centrale accettata. Con $x = \tfrac{3}{2}$ : $5{,}06 - 11{,}25 + 4 = -2{,}19$ , negativo ✗ — ed è giusto che quella zona sia esclusa.

Il controllo va fatto in una zona accettata e in una scartata: se tornano entrambe, il grafico dei segni non è capovolto.