Equazioni di primo grado

Un’equazione è un’uguaglianza vera solo per certi valori dell’incognita. Risolverla significa trovare quei valori. È di primo grado quando l’incognita compare con esponente 1: $3x - 5 = 7$ lo è, $x^2 = 4$ no.

Il metodo, in tre mosse

Sempre lo stesso ordine, e conviene non improvvisare:

1. Incognite da una parte, numeri dall’altra.
2. Per spostare un termine da una parte dell’uguale all’altra, cambio segno.
3. Divido per il coefficiente dell’incognita, a entrambi i membri.

Vediamolo su $\;2x - 4 + 3x - 6 = -2x + 4$:

$$\begin{aligned} 2x - 4 + 3x - 6 &= -2x + 4 \\[4pt] 2x + 3x + 2x &= 4 + 6 + 4 &&\text{(sposto, cambiando segno)} \\[4pt] 7x &= 14 &&\text{(sommo i simili)} \\[4pt] x &= \frac{14}{7} = 2 &&\text{(divido per il coefficiente)} \end{aligned}$$

Il motivo per cui funziona: spostare cambiando segno equivale a sommare la stessa quantità ai due membri, e una bilancia resta in equilibrio se aggiungi lo stesso peso da entrambe le parti. Il “cambio segno” è solo la scorciatoia.

Equazioni con le frazioni

Quando compaiono denominatori numerici, si moltiplicano entrambi i membri per il minimo comune multiplo, e le frazioni spariscono.

$$\frac{2x-3}{4} + 6 + \frac{x}{2} = \frac{3(x-3)}{4} - 2$$

Moltiplico tutto per 4:

$$2x - 3 + 24 + 2x = 3(x-3) - 8$$

Da lì si prosegue col metodo di prima:

$$4x + 21 = 3x - 9 - 8 \quad\Longrightarrow\quad 4x - 3x = -17 - 21 \quad\Longrightarrow\quad x = -38$$

Quando la soluzione non è un numero

Non tutte le equazioni di primo grado hanno una soluzione sola. Portando tutto a sinistra si arriva sempre a una forma $ax = b$, e allora:

caso	esito	esempio
$a \ne 0$	determinata: una soluzione, $x = b/a$	$3x = 6 \to x = 2$
$a = 0$, $b \ne 0$	impossibile: $S = \varnothing$	$0 = 5$
$a = 0$, $b = 0$	indeterminata: ogni $x$ va bene, $S = \mathbb{R}$	$0 = 0$