Disequazioni fratte

Una disequazione è fratta quando l’incognita compare al denominatore. La forma tipica è

$$\frac{A}{B} \ge 0$$

e la domanda diventa: per quali $x$ questa frazione è positiva? Il punto è che il segno di una frazione dipende dal segno di entrambi i suoi pezzi.

Il metodo

1. Condizioni di esistenza: denominatore $\ne 0$.
2. Studia il segno del numeratore: risolvi $N > 0$.
3. Studia il segno del denominatore: risolvi $D > 0$.
4. Grafico dei segni: riporta i due studi su una retta e moltiplica i segni colonna per colonna.
5. Leggi la soluzione secondo il verso richiesto.

Il passo 4 è tutto il metodo: la regola dei segni della moltiplicazione applicata a intervalli.

$$\frac{+}{+} = + \qquad \frac{-}{-} = + \qquad \frac{+}{-} = - \qquad \frac{-}{+} = -$$

Un esempio completo

$$\frac{x}{x+1} > 0$$

C.E.: $x + 1 \ne 0$, cioè $x \ne -1$.

Numeratore: $x > 0$ — positivo a destra di 0. Denominatore: $x + 1 > 0$, cioè $x > -1$ — positivo a destra di $-1$.

Riportando su una retta si formano tre zone:

zona	segno di $N$	segno di $D$	segno di $\dfrac{N}{D}$
$x < -1$	$-$	$-$	$+$
$-1 < x < 0$	$-$	$+$	$-$
$x > 0$	$+$	$+$	$+$

Il verso richiesto è $> 0$, quindi prendo le zone col $+$:

$$S = \{\, x < -1 \;\lor\; x > 0 \,\}$$

Nota che la soluzione comprende una zona a sinistra di $-1$, che il “semplificare” avrebbe buttato via: lì numeratore e denominatore sono entrambi negativi, e la frazione è positiva.

Estremi: attenzione asimmetrica

Se la disequazione è $\ge 0$ o $\le 0$, gli estremi si trattano in modo diverso a seconda che vengano dal numeratore o dal denominatore:

• gli zeri del numeratore si includono (lì la frazione vale 0, che soddisfa $\ge 0$);
• gli zeri del denominatore si escludono sempre, perché lì la frazione non esiste.

$$\frac{x}{x+1} \ge 0 \qquad\Longrightarrow\qquad S = \{\, x < -1 \;\lor\; x \ge 0 \,\}$$

Lo zero è incluso, il $-1$ no: e non è una scelta, è la C.E.