Disequazioni goniometriche

Come per le equazioni, la soluzione non è un punto ma un arco di circonferenza — e siccome le funzioni sono periodiche, quell’arco si ripete a ogni giro.

Il metodo

\sin x > \frac12

Risolvi l’equazione associata $\sin x = \frac12$ : trovi gli angoli di confine, $\frac{\pi}{6}$ e $\frac{5\pi}{6}$ .
Disegna la circonferenza e traccia la retta orizzontale $y = \frac12$ (per il seno è orizzontale, perché il seno è l’ordinata).
Guarda quale arco soddisfa: il seno è maggiore di $\frac12$ dove il punto sta sopra quella retta, cioè fra i due angoli di confine.
Aggiungi la periodicità.

\frac{\pi}{6} + 2k\pi < x < \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Per il seno si traccia una retta orizzontale (il seno è l’ordinata); per il coseno una retta verticale (il coseno è l’ascissa). È l’unica cosa da ricordare, e il resto si legge sul disegno.

Chi prova a risolvere le disequazioni goniometriche senza disegnare la circonferenza sbaglia sistematicamente il verso.

I casi sempre veri o mai verificati

Sono frequentissimi e si risolvono senza fare niente, ricordando che $-1 \le \sin x \le 1$ :

3\sin x + 6 > 0 \;\Longrightarrow\; \sin x > -2 \;\Longrightarrow\; S = \mathbb{R}

3\sin x - 6 > 0 \;\Longrightarrow\; \sin x > 2 \;\Longrightarrow\; S = \varnothing

3\sin x - 6 < 0 \;\Longrightarrow\; \sin x < 2 \;\Longrightarrow\; S = \mathbb{R}

Prima di mettersi a disegnare, isola la funzione goniometrica e guarda il numero: se cade fuori dall’intervallo $[-1,\,1]$ , la disequazione è già decisa.

È lo stesso riflesso che serve nelle equazioni ( $\sin x = 2$ impossibile), ma nelle disequazioni la risposta può essere anche il contrario — “sempre vera” — e la differenza sta tutta nel verso.

Quando l’argomento non è x

Se compare $\sin(2x)$ , $\cos(x + \frac{\pi}{3})$ o simili, si sostituisce l’argomento con una nuova variabile, si risolve, e solo alla fine si torna indietro.

\sin(2x) \ge \frac12 \qquad\xrightarrow{\;\alpha = 2x\;}\qquad \sin\alpha \ge \frac12

\frac{\pi}{6} + 2k\pi \le \alpha \le \frac{5\pi}{6} + 2k\pi

Ora si torna a $x$ dividendo tutto per 2, periodicità compresa:

\frac{\pi}{12} + k\pi \le x \le \frac{5\pi}{12} + k\pi

Il pezzo che si dimentica è il $2k\pi$ : dividendo per 2 diventa $k\pi$ , non resta $2k\pi$ .

\underbrace{\frac{\pi}{12} + k\pi}_{\text{corretto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{\frac{\pi}{12} + 2k\pi}_{\text{sbagliato}}

Ha anche un senso: $\sin(2x)$ compie due oscillazioni nel tempo in cui $\sin x$ ne compie una, quindi le soluzioni sono il doppio, cioè più fitte.

Esercizio. Risolvi:

$\cos x \le \dfrac12$
$2\sin x + 5 > 0$
$\sqrt3\,\tan x \ge 3$

Mostra la soluzione

1. Equazione associata: $\cos x = \frac12 \Rightarrow x = \pm\frac{\pi}{3}$ . Il coseno è l’ascissa, quindi traccio la retta verticale $x = \frac12$ : il coseno è minore a sinistra di quella retta.

\frac{\pi}{3} + 2k\pi \le x \le \frac{5\pi}{3} + 2k\pi

2. Isolo:

\sin x > -\frac52 = -2{,}5

Sotto $-1$ : il seno è sempre maggiore. $\;S = \mathbb{R}$ , senza disegnare niente.

3. Isolo la tangente:

\tan x \ge \frac{3}{\sqrt3} = \sqrt3 \qquad\Longrightarrow\qquad \text{angolo di confine } \frac{\pi}{3}

La tangente cresce da $-\infty$ a $+\infty$ in ogni periodo di ampiezza $\pi$ , quindi è $\ge \sqrt3$ da $\frac{\pi}{3}$ fino a dove smette di esistere, cioè $\frac{\pi}{2}$ :

\frac{\pi}{3} + k\pi \le x < \frac{\pi}{2} + k\pi

Nota l’estremo destro escluso: in $\frac{\pi}{2}$ la tangente non esiste.

Verifica. Nel punto 1, prova un valore interno: $x = \pi$ dà $\cos\pi = -1 \le \frac12$ ✓. E uno esterno: $x = 0$ dà $\cos 0 = 1$ , che non è $\le \frac12$ ✓ — infatti $0$ è fuori dall’intervallo trovato.