I numeri complessi: forma algebrica

Fino a qui, davanti a $x^2 = -1$ la risposta era “impossibile”: nessun numero reale, elevato al quadrato, dà un negativo. I numeri complessi nascono dalla decisione opposta — dare un nome a quella soluzione e vedere che cosa succede. Quello che succede è che l’algebra funziona meglio di prima: nessuna equazione di secondo grado resta senza soluzioni. Il caso $\Delta < 0$ , che finora si chiudeva con “impossibile”, ne acquista due; quello con $\Delta = 0$ continua ad avere la sua unica soluzione doppia.

Il caso

x^2 + 4x + 13 = 0 \qquad \Delta = 16 - 52 = -36

Con il discriminante negativo l’esercizio finiva lì. Ora invece si chiama $i$ il numero il cui quadrato vale $-1$ , e $\sqrt{-36}$ diventa scrivibile:

\sqrt{-36} = \sqrt{36 \cdot (-1)} = 6i

x = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i

Due soluzioni, una lo specchio dell’altra — stessa parte reale, parti immaginarie opposte. La coppia ha un nome, coniugate, che arriva più avanti. Nessuna magia: solo un simbolo in più.

La regola

i = \sqrt{-1} \qquad\Longrightarrow\qquad i^2 = -1

Con i radicandi negativi la regola $\sqrt{m}\cdot\sqrt{n} = \sqrt{m\,n}$ smette di valere.

\underbrace{\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9} = (2i)(3i) = 6i^2 = -6}_{\text{corretto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{\sqrt{-4}\cdot\sqrt{-9} = \sqrt{36} = 6}_{\text{sbagliato}}

La scomposizione $\sqrt{-36} = \sqrt{36\cdot(-1)} = 6i$ usata nel caso di apertura invece funziona — e la differenza è precisa: $\sqrt{m}\,\sqrt{n} = \sqrt{mn}$ salta solo quando entrambi i radicandi sono negativi. Con uno solo negativo regge ( $\sqrt{36}\sqrt{-1} = 6i$ , ed è proprio $\sqrt{-36}$ ).

Nel dubbio la mossa sicura è una sola: prima si tira fuori la $i$ da ciascuna radice, poi si moltiplica. Così il caso che rompe non si presenta nemmeno.

Un numero complesso si scrive in forma algebrica (o binomia) come

z = a + ib \qquad a = \operatorname{Re}(z),\quad b = \operatorname{Im}(z)

La parte immaginaria è il coefficiente della $i$ , non il termine con la $i$ dentro.

z = 5 + 4i \qquad \underbrace{\operatorname{Im}(z) = 4}_{\text{giusto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{\operatorname{Im}(z) = 4i}_{\text{sbagliato}}

$\operatorname{Re}(z)$ e $\operatorname{Im}(z)$ sono due numeri reali. È una distinzione che sembra pedante finché non si arriva al modulo, dove sotto radice va $b^2$ e non $(ib)^2$ — che avrebbe segno opposto.

I reali non spariscono: sono i complessi con parte immaginaria nulla, cioè $\mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .

Il piano di Gauss

Il piano complesso: z rappresentato come vettore con parte reale sull'asse orizzontale e parte immaginaria su quello verticale, con il coniugato riflesso sotto l'asse reale

Poiché servono due numeri reali per individuare $z$ , un complesso si disegna come punto (o vettore) del piano: $a$ sull’asse orizzontale (asse reale), $b$ su quello verticale (asse immaginario).

Questa lettura non è decorativa: rende visibili il modulo (la lunghezza) e il coniugato (il riflesso), e nella lezione successiva diventa il modo normale di lavorare.

Le operazioni

Somma e sottrazione: parte reale con parte reale, immaginaria con immaginaria.

(3 + 2i) + (1 - 5i) = 4 - 3i

Prodotto: si moltiplica come un binomio, e alla fine si usa $i^2 = -1$ .

(3+2i)(1-5i) = 3 - 15i + 2i - 10\underbrace{i^2}_{-1} = 3 - 13i + 10 = 13 - 13i

Utile conoscere il ciclo delle potenze di $i$ , che si ripete di quattro in quattro:

i^0 = 1 \qquad i^1 = i \qquad i^2 = -1 \qquad i^3 = -i \qquad i^4 = 1

Il coniugato: la chiave della divisione

Il coniugato di $z = a+ib$ è $\bar{z} = a - ib$ : stessa parte reale, parte immaginaria opposta. Il fatto che lo rende utile è questo:

z\,\bar{z} = (a+ib)(a-ib) = a^2 - i^2b^2 = a^2 + b^2

È la somma per differenza di sempre — con una variazione: dove ci si aspetta $-b^2$ compare $+b^2$ , perché $-i^2 = +1$ . Il risultato è reale e non negativo — ed è nullo solo per $z = 0$ , visto che $a^2+b^2=0$ con $a$ e $b$ reali obbliga entrambi a essere nulli. È il quadrato del modulo:

\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2} \qquad\Longrightarrow\qquad z\,\bar{z} = \lvert z\rvert^2

Da qui la divisione. Una frazione con la $i$ al denominatore non è in forma algebrica: per scriverla come $a + ib$ si moltiplica sopra e sotto per il coniugato del denominatore, che è la razionalizzazione già vista con i radicali.

\frac{2+3i}{2-3i} = \frac{(2+3i)}{(2-3i)}\cdot\frac{(2+3i)}{(2+3i)} = \frac{4 + 12i + 9i^2}{\underbrace{4 + 9}_{2^2+3^2}} = \frac{-5 + 12i}{13} = -\frac{5}{13} + \frac{12}{13}\,i

Dividere per un complesso significa togliere la $i$ dal denominatore. Il coniugato serve a questo, e funziona per ogni denominatore $z \neq 0$ : il prodotto $z\bar{z} = a^2+b^2$ è reale e — se $z$ non è nullo — strettamente positivo, quindi ci si può dividere.

Nei corsi di elettrotecnica lo stesso numero si scrive con la lettera $j$ invece di $i$ ( $z = a + jb$ ), perché la $i$ è già presa dalla corrente. È solo un cambio di nome: le regole non cambiano di una virgola.

Esercizio.

Calcola $(4 - i) + (2 + 6i)$ e $(4-i) - (2+6i)$ .
Calcola $(2 + 3i)(1 - i)$ .
Calcola $\lvert 5 + 12i \rvert$ .
Scrivi in forma algebrica $\dfrac{1+i}{2-i}$ .
Risolvi $x^2 - 2x + 5 = 0$ .

Mostra la soluzione

1. Componente per componente:

(4-i) + (2+6i) = 6 + 5i \qquad (4-i) - (2+6i) = 2 - 7i

2. Come un prodotto di binomi, poi $i^2 = -1$ :

(2+3i)(1-i) = 2 - 2i + 3i - 3i^2 = 2 + i + 3 = 5 + i

3. Modulo:

\lvert 5 + 12i\rvert = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13

4. Si moltiplica per il coniugato del denominatore, cioè $2+i$ :

\frac{1+i}{2-i}\cdot\frac{2+i}{2+i} = \frac{2 + i + 2i + i^2}{4 + 1} = \frac{1 + 3i}{5} = \frac{1}{5} + \frac{3}{5}\,i

5. Discriminante negativo:

\Delta = 4 - 20 = -16 \qquad \sqrt{-16} = 4i

x = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i

Verifica. Le soluzioni di un’equazione a coefficienti reali con $\Delta < 0$ sono sempre coniugate, e per la somma e il prodotto delle radici devono dare $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = 2$ ✓ e $x_1 x_2 = \frac{c}{a} = 5$ : infatti $(1+2i)(1-2i) = 1 + 4 = 5$ ✓. Se ti escono due soluzioni non coniugate, l’errore è nel segno sotto radice.