Continuità e punti di discontinuità

L’idea intuitiva è quella che tutti conoscono: una funzione è continua se il suo grafico si disegna senza staccare la penna dal foglio. È un’immagine giusta, ma non si può usare per dimostrare niente — e soprattutto non dice dove guardare.

La definizione operativa passa dai limiti, e ha il vantaggio di essere una checklist.

La regola: tre condizioni, tutte insieme

Una funzione $f$ è continua nel punto $x_0$ se valgono tutte e tre:

1. $f(x_0)$ esiste — cioè $x_0$ sta nel dominio;
2. il limite esiste finito, e questo vuol dire che i due limiti laterali esistono e coincidono;
3. i due valori sono lo stesso numero.

$$\lim_{x \to x_0^-} f(x) \;=\; \lim_{x \to x_0^+} f(x) \;=\; f(x_0)$$

Basta che ne salti una perché il punto sia di discontinuità. Quale delle tre salta decide anche che tipo di discontinuità è.

I tre tipi

Si chiamano prima, seconda e terza specie, e conviene incontrarle in quest’ordine — il nome è già la sequenza.

Di prima specie, o salto. I due limiti laterali esistono finiti ma sono diversi. Il buco non si chiude ridefinendo un punto: mancherebbe comunque tutto il tratto in mezzo. La differenza $\lvert L^+ - L^- \rvert$ si chiama ampiezza del salto.

Di seconda specie. Almeno uno dei due limiti laterali è infinito oppure non esiste. È il caso dell’asintoto verticale — $\frac{1}{x}$ in $x=0$ — e anche di funzioni che oscillano senza stabilizzarsi, come $\sin\frac{1}{x}$ vicino a zero.

Di terza specie, o eliminabile. I due limiti laterali coincidono e sono finiti, ma la funzione in $x_0$ vale altro — o non è definita.

$$f(x) = \frac{x^2-1}{x-1} \qquad \lim_{x\to 1} f(x) = \lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = 2$$

In $x = 1$ la funzione non esiste (denominatore nullo), ma il limite sì. Si chiama eliminabile perché basta ridefinire $f(1) = 2$ e il buco si chiude: la funzione diventa continua. È l’unica delle tre che si aggiusta cambiando un solo punto, ed è il motivo per cui viene per ultima: è la meno grave.

Dove si nascondono

Non serve controllare ogni punto: le discontinuità stanno solo dove qualcosa si rompe o si attacca.

• Denominatori che si annullano: candidati a seconda specie, o a eliminabile se il numeratore si annulla nello stesso punto.
• Argomenti di logaritmo: dev’essere $> 0$. E se il logaritmo sta al denominatore, serve anche che non valga zero, cioè che l’argomento sia $\ne 1$.
• Radici di indice pari: argomento $\ge 0$, quindi il dominio si interrompe.
• I punti di raccordo di una funzione definita a tratti: lì il valore lo decide chi ha scritto la funzione, e quasi sempre è il punto dell’esercizio.

Un esempio del secondo caso, che si sbaglia perché si ferma alla prima condizione:

$$f(x) = \frac{1}{\log(3-x)} \qquad \underbrace{3 - x > 0}_{x\,<\,3} \qquad\text{e}\qquad \underbrace{3 - x \ne 1}_{x\,\ne\,2}$$

Trovare i parametri che saldano una funzione a tratti

È l’esercizio tipico, e il metodo è sempre lo stesso: imporre la continuità nei punti di raccordo e risolvere.

$$f(x) = \begin{cases} 2x + a & x < 0 \\[2pt] x^2 - x + 1 & 0 \le x \le 1 \\[2pt] bx + 2 & x > 1 \end{cases}$$

I punti da controllare sono due, $x=0$ e $x=1$: dentro ciascun tratto la funzione è un polinomio, e i polinomi sono continui ovunque.

In $x = 0$. Il valore lo dà il secondo tratto, perché è quello che include lo zero:

$$\underbrace{\lim_{x\to 0^-} (2x+a) = a}_{\text{da sinistra}} \qquad \underbrace{f(0) = 0 - 0 + 1 = 1}_{\text{valore e limite da destra}} \qquad\Longrightarrow\qquad a = 1$$

In $x = 1$.

$$\underbrace{f(1) = 1 - 1 + 1 = 1}_{\text{da sinistra, e valore}} \qquad \underbrace{\lim_{x\to 1^+} (bx+2) = b + 2}_{\text{da destra}} \qquad\Longrightarrow\qquad b + 2 = 1 \qquad b = -1$$

Con $a = 1$ e $b = -1$ la funzione è continua su tutto $\mathbb{R}$. Con qualunque altro valore di $a$, in $x=0$ compare un salto di ampiezza $\lvert 1 - a\rvert$: la discontinuità non è un incidente, è il valore sbagliato del parametro.