Integrali di funzioni razionali

Una funzione razionale è un rapporto di polinomi, $\dfrac{N(x)}{D(x)}$. Presa così com’è quasi nessuna si integra a vista; spezzata in addendi più semplici diventa una somma di logaritmi, potenze e arcotangenti. Il metodo che la spezza si chiama decomposizione in fratti semplici, ed è meccanico: la difficoltà non sta nel capirlo ma nel non saltare i passi nell’ordine giusto.

Il caso

$$\int \frac{1}{x\,(x+1)(x-2)}\,dx$$

Nessuno degli schemi della lezione sugli integrali indefiniti funziona: al numeratore non c’è la derivata del denominatore, e non è una potenza di niente. Però quella frazione si può riscrivere come somma di tre frazioni con denominatore di primo grado — e quelle si integrano tutte in logaritmi.

Il metodo

1. Confronta i gradi

$$\deg N < \deg D \quad\Longrightarrow\quad \text{si decompone}$$ $$\deg N \geq \deg D \quad\Longrightarrow\quad \text{prima la divisione}$$

2. Scomponi il denominatore

Ogni polinomio a coefficienti reali si fattorizza in fattori di primo grado e fattori di secondo grado irriducibili ($\Delta < 0$). Il tipo di fattore decide la forma del pezzo:

fattore di $D(x)$	pezzo corrispondente
$(x-a)$	$\dfrac{A}{x-a}$
$(x-a)^k$	$\dfrac{A_1}{x-a} + \dfrac{A_2}{(x-a)^2} + \dots + \dfrac{A_k}{(x-a)^k}$
$x^2+px+q$ con $\Delta<0$	$\dfrac{Ax+B}{x^2+px+q}$
$(x^2+px+q)^k$ con $\Delta<0$	$\dfrac{A_1x+B_1}{x^2+px+q} + \dots + \dfrac{A_kx+B_k}{(x^2+px+q)^k}$

Sul fattore ripetuto si perdono più esercizi che su tutto il resto: servono tutte le potenze da $1$ a $k$, non solo la $k$-esima — e la regola vale identica per l’irriducibile elevato a potenza, ultima riga della tabella. Sul fattore irriducibile, poi, il numeratore è di primo grado ($Ax+B$), non una costante.

(I pezzi con $(x^2+px+q)^k$ e $k \geq 2$ si decompongono come sopra, ma la loro integrazione richiede una formula di riduzione che questa lezione non tratta.)

3. Trova i coefficienti

Ridotto tutto a denominatore comune, i numeratori devono coincidere come polinomi. Nel caso di apertura:

$$1 = A(x+1)(x-2) + B\,x\,(x-2) + C\,x\,(x+1)$$

Il modo rapido è il metodo dei valori specifici: si sostituiscono le radici del denominatore, una alla volta, perché ognuna azzera tutti i termini tranne uno.

$$\begin{aligned} x = 0:\quad & 1 = -2A \;\Rightarrow\; A = -\tfrac{1}{2} \\ x = -1:\quad & 1 = 3B \;\Rightarrow\; B = \tfrac{1}{3} \\ x = 2:\quad & 1 = 6C \;\Rightarrow\; C = \tfrac{1}{6} \end{aligned}$$ $$\int \frac{dx}{x(x+1)(x-2)} = -\frac{1}{2}\ln\lvert x\rvert + \frac{1}{3}\ln\lvert x+1\rvert + \frac{1}{6}\ln\lvert x-2\rvert + C$$

La $C$ dei coefficienti e la $C$ della costante di integrazione non si confondono perché non si incontrano mai: i coefficienti vivono nella decomposizione, la costante compare solo nel risultato finale, a conti chiusi.

Un caso completo, con divisione e fattore ripetuto

$$\int \frac{3x^4 + 2x^3 - 1}{x^4 - x^2}\,dx$$

Gradi: $4$ e $4$, quindi si divide. Il quoziente è $3$:

$$\frac{3x^4+2x^3-1}{x^4-x^2} = 3 + \frac{2x^3 + 3x^2 - 1}{x^4-x^2}$$

Scomposizione: $x^4 - x^2 = x^2(x-1)(x+1)$, cioè un fattore doppio e due semplici.

$$\frac{2x^3+3x^2-1}{x^2(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x-1} + \frac{D}{x+1}$$ $$2x^3+3x^2-1 = A\,x(x^2-1) + B(x^2-1) + C\,x^2(x+1) + D\,x^2(x-1)$$

Coefficienti, prima con le radici e poi con un confronto:

$$\begin{aligned} x=0:\quad & -1 = -B \;\Rightarrow\; B = 1 \\ x=1:\quad & 4 = 2C \;\Rightarrow\; C = 2 \\ x=-1:\quad & 0 = -2D \;\Rightarrow\; D = 0 \end{aligned}$$

Manca $A$, che nessuna radice isola: si confronta il coefficiente di $x^3$, cioè $2 = A + C + D$, da cui $A = 0$.

$$\int\left(3 + \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x-1}\right)dx = 3x - \frac{1}{x} + 2\ln\lvert x-1\rvert + C$$

Il fattore irriducibile

Quando $D$ contiene un $x^2+px+q$ con $\Delta<0$ compaiono due integrali di forma diversa, e conviene spezzare il numeratore per riconoscerli:

$$\int \frac{Ax+B}{x^2+px+q}\,dx \;\longrightarrow\; \underbrace{\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx}_{\text{logaritmo}} \;+\; \underbrace{\int \frac{\text{costante}}{x^2+px+q}\,dx}_{\text{arcotangente}}$$

Per il secondo pezzo serve il completamento del quadrato, che riporta il denominatore alla forma $(x-h)^2 + a^2$ — qui $h = -2$ e $a = 3$, ed è quell’$a$ che ricompare due volte nel risultato, come $\tfrac1a$ davanti e come divisore dentro l’arcotangente:

$$\int \frac{dx}{x^2+4x+13} = \int \frac{dx}{(x+2)^2 + 9} = \frac{1}{3}\arctan\frac{x+2}{3} + C$$