I teoremi di Rolle e Lagrange

Fin qui la derivata è stata uno strumento di calcolo: si applica una regola e si ottiene un’altra funzione. Questi due teoremi fanno il passo che serve davvero, cioè collegano la derivata a quello che la funzione fa — e sono il motivo per cui, nello studio di funzione, dal segno di $f'$ si può dedurre la crescenza.

Sono anche i primi enunciati in cui le ipotesi contano più della tesi: togline una e il teorema è falso, con controesempi che stanno in due righe.

Il caso

f(x) = x^4 - 2x^2 \qquad \text{nell'intervallo } [-1,\,1]

È un polinomio, quindi continuo e derivabile ovunque. E agli estremi vale lo stesso numero:

f(-1) = 1 - 2 = -1 \qquad f(1) = 1 - 2 = -1

Se una funzione parte e arriva alla stessa quota, da qualche parte in mezzo deve aver smesso di salire o di scendere: c’è un punto in cui la tangente è orizzontale. Trovarlo è un conto:

f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x\,(x^2-1) = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad x = 0,\quad x = 1,\quad x = -1

Tre valori, ma uno solo è la risposta: $\pm 1$ sono gli estremi, e il teorema garantisce un punto interno. Il punto cercato è $c = 0$ .

Il teorema di Rolle

Se $f$ è

continua in $[a,b]$ — estremi inclusi;
derivabile in $\,]a,b[\,$ — estremi esclusi;
tale che $f(a) = f(b)$ ;

allora esiste almeno un $c \in \,]a,b[\,$ tale che

f'(c) = 0

Due grafici affiancati: in Rolle la corda che unisce gli estremi è orizzontale e in un punto interno la tangente è orizzontale; in Lagrange la corda è inclinata e la tangente in c è parallela ad essa

Tre osservazioni sull’enunciato, tutte e tre oggetto di domanda all’orale.

“Almeno un $c$ ”, non “un solo $c$ ”. I punti a tangente orizzontale possono essere parecchi: il teorema garantisce l’esistenza, non l’unicità.

Gli intervalli sono diversi apposta. La continuità si chiede su $[a,b]$ chiuso, perché serve anche agli estremi; la derivabilità su $\,]a,b[\,$ aperto, perché agli estremi non servirebbe a nulla e la si chiederebbe per niente.

Il teorema non dice come trovare $c$ . Dice che esiste. Per trovarlo si risolve $f'(x) = 0$ — ed è lì che bisogna ricordarsi di buttare via le soluzioni che cadono sugli estremi.

Le tre ipotesi non sono decorazioni: senza una qualsiasi il teorema è falso.

\underbrace{f(x) = \lvert x \rvert \ \text{ in } [-1,1]}_{f(-1)=f(1)=1,\ \text{ma non derivabile in } 0} \qquad\neq\qquad \underbrace{f(x) = x^4-2x^2 \ \text{ in } [-1,1]}_{\text{tutte e tre le ipotesi}}

Il modulo è continuo, vale $1$ a entrambi gli estremi, e non ha nessun punto a tangente orizzontale: la sua derivata vale $-1$ a sinistra e $+1$ a destra, mai zero. Manca la derivabilità in un solo punto, e la tesi crolla.

Stessa cosa dall’altro lato: $f(x) = x$ su $[0,1)$ con $f(1) = 0$ soddisfa $f(0)=f(1)=0$ ed è derivabile all’interno, ma non è continua in $1$ — e anche qui $f'$ non si annulla mai.

Attenzione però al verso: le ipotesi sono sufficienti, non necessarie. Se cadono, il teorema non garantisce più niente — ma il punto $c$ può esistere lo stesso. $f(x) = x^3 - x$ su $[0,2]$ non ha $f(a) = f(b)$ , eppure $f'(x) = 3x^2 - 1$ si annulla in $x = \tfrac{1}{\sqrt{3}}$ , che è interno. «Cade un’ipotesi» autorizza a dire “Rolle non si applica”, mai “il punto non esiste”.

Il teorema di Lagrange

È Rolle inclinato: si toglie l’ipotesi $f(a)=f(b)$ , e al posto della tangente orizzontale compare una tangente parallela alla corda.

Se $f$ è continua in $[a,b]$ e derivabile in $\,]a,b[\,$ , allora esiste $c \in\,]a,b[\,$ tale che

\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = f'(c)

A sinistra c’è la pendenza della corda che unisce i due estremi del grafico; a destra la pendenza della tangente in $c$ . Detto con le parole di un viaggio: se hai percorso $180$ km in $2$ ore, la tua velocità media è stata $90$ km/h, e in almeno un istante il tuo tachimetro segnava esattamente $90$ .

Da dove viene: si costruisce Rolle

La dimostrazione è un’idea sola — raddrizzare la corda — e vale la pena vederla, perché è il modello di mezza analisi.

Si prende $f$ e le si sottrae una retta di coefficiente angolare $k$ ancora da scegliere:

F(x) = f(x) - kx

$F$ è continua e derivabile esattamente dove lo è $f$ , perché $kx$ lo è ovunque. Ora si sceglie $k$ in modo che $F$ soddisfi l’ipotesi di Rolle, cioè $F(a) = F(b)$ :

\begin{gathered} f(a) - ka = f(b) - kb \qquad\Longrightarrow\qquad k\,(b-a) = f(b)-f(a) \\[6pt] \Longrightarrow\qquad k = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{gathered}

Con questo $k$ , Rolle si applica a $F$ e dà un $c$ interno con $F'(c) = 0$ . Ma

\begin{gathered} F'(x) = f'(x) - k \qquad\Longrightarrow\qquad f'(c) - k = 0 \\[6pt] \Longrightarrow\qquad f'(c) = k = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{gathered}

che è la tesi. Rolle non è un caso particolare di Lagrange da imparare a parte: è il mattone con cui Lagrange è costruito.

Il ponte verso lo studio di funzione

L’apertura prometteva che questi teoremi sono il motivo per cui dal segno di $f'$ si legge la crescenza. Il ponte è Lagrange, applicato a due punti qualsiasi $x_1 < x_2$ di un intervallo dove $f' > 0$ :

f(x_2) - f(x_1) = f'(c)\,(x_2 - x_1)

A destra ci sono due fattori positivi — $f'(c) > 0$ per ipotesi, $x_2 - x_1 > 0$ perché i punti sono in ordine — quindi $f(x_2) > f(x_1)$ : la funzione cresce. Con $f' < 0$ lo stesso conto dà la decrescenza. È il criterio che lo studio di funzione usa a ogni esercizio: adesso sai da dove viene.

Rolle e Lagrange dicono la stessa cosa: fra due punti del grafico esiste un punto interno dove la tangente è parallela alla corda. In Rolle la corda è orizzontale, quindi lo è anche la tangente ed è per questo che la tesi si scrive $f'(c)=0$ .

Se ricordi il disegno non hai bisogno di ricordare le formule: l’enunciato si riscrive guardandolo.

Esercizio.

Verifica che $f(x) = x^2 - 4x$ soddisfa le ipotesi di Rolle in $[0,4]$ e trova $c$ .
Applica Lagrange a $f(x) = x^2$ in $[1,3]$ e trova $c$ .
Il teorema di Rolle è applicabile a $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ in $[-1,1]$ ? Motiva.
Una funzione continua e derivabile ha $f(2) = 5$ e $f(6) = 13$ . Cosa si può affermare con certezza sulla sua derivata?

Mostra la soluzione

1. È un polinomio: continuo in $[0,4]$ e derivabile in $\,]0,4[\,$ . Agli estremi:

f(0) = 0 \qquad f(4) = 16 - 16 = 0

Le tre ipotesi valgono. Allora:

f'(x) = 2x - 4 = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad c = 2

ed è interno all’intervallo ✓. È il vertice della parabola, come deve essere.

2. $f$ è un polinomio, quindi le ipotesi valgono.

\frac{f(3)-f(1)}{3-1} = \frac{9-1}{2} = 4 \qquad f'(x) = 2x \qquad\Longrightarrow\qquad 2c = 4 \qquad c = 2

3. No. $f(x) = \sqrt[3]{x^2} = x^{2/3}$ è continua in $[-1,1]$ e vale $1$ a entrambi gli estremi, ma

f'(x) = \frac{2}{3}x^{-1/3} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}

non esiste in $x = 0$ — è una cuspide. Manca la derivabilità su tutto l’intervallo aperto: Rolle non è applicabile, cioè l’esistenza di $c$ non è più garantita. In questo caso effettivamente $f'$ non si annulla mai (il grafico ha un minimo a punta, non a tangente orizzontale) — ma è un fatto di questa funzione, non una conseguenza automatica: le ipotesi sono sufficienti, non necessarie.

4. Per Lagrange esiste almeno un $c \in\,]2,6[\,$ con

f'(c) = \frac{13-5}{6-2} = 2

Si può affermare questo e non di più: non che la derivata valga sempre $2$ , non che $c$ sia unico, e nemmeno dove si trovi.

Verifica. Il controllo da fare sempre è che $c$ sia interno. Nel punto 1, se avessi trovato $c=0$ o $c=4$ la risposta sarebbe stata da rigettare, non da scrivere: il teorema promette un punto dentro, e una soluzione sull’estremo significa che qualcosa nei conti non torna — o che le ipotesi non erano soddisfatte davvero.