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I radicali

Superiori — biennioAggiornata: 6 agosto 2026

Prerequisiti: Monomi e polinomi

La radice è l’operazione opposta all’elevamento a potenza. Tutto quello che segue discende da questa frase, compresi i casi che sembrano strani.

an=b⟺a=b n\sqrt[n]{a} = b \qquad\Longleftrightarrow\qquad a = b^{\,n}

Il numero nn si chiama indice della radice, aa è il radicando. Quando l’indice non è scritto vale 2: x\sqrt{x} è la radice quadrata.

Leggerla come operazione inversa risolve i dubbi da sola: 25=5\sqrt{25} = 5 perché 52=255^2 = 25, e 83=2\sqrt[3]{8} = 2 perché 23=82^3 = 8.

Radicali come potenze

Un radicale si può sempre riscrivere come potenza a esponente frazionario:

a mn=amn\sqrt[n]{a^{\,m}} = a^{\frac{m}{n}}

L’indice della radice finisce al denominatore, l’esponente del radicando al numeratore:

532=532x=x12a23=a23\sqrt[2]{5^3} = 5^{\frac{3}{2}} \qquad\qquad \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \qquad\qquad \sqrt[3]{a^2} = a^{\frac{2}{3}}

Questa riscrittura non è un vezzo: trasforma i problemi sui radicali in problemi sulle potenze, di cui conosci già tutte le regole. Prodotti, quozienti e potenze di potenze si gestiscono sommando, sottraendo e moltiplicando esponenti, senza formule nuove da imparare.

Le proprietà

Dalle regole delle potenze seguono quelle dei radicali, a patto che i radicali esistano:

an⋅bn=abnanbn=abna mn=(an)m\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab} \qquad \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}} \qquad \sqrt[n]{a^{\,m}} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}

Servono soprattutto a portare fuori dalla radice quello che si può:

72=36⋅2=36⋅2=62\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36}\cdot\sqrt{2} = 6\sqrt{2}

Condizioni di esistenza

Qui c’è la distinzione che conta, e dipende dall’indice:

  • indice pari: il radicando deve essere ≥0\ge 0. Non esiste un numero reale il cui quadrato faccia −4-4;
  • indice dispari: nessuna condizione, il radicando può essere negativo. Infatti −83=−2\sqrt[3]{-8} = -2, perché (−2)3=−8(-2)^3 = -8.

Quando sotto la radice c’è un’espressione con l’incognita e l’indice è pari, la condizione di esistenza va imposta e risolta, non solo dichiarata:

x−3esiste solo sex−3≥0⟹x≥3\sqrt{x - 3} \quad\text{esiste solo se}\quad x - 3 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 3

E attenzione a un caso che sembra un cavillo ma non lo è:

x2=∣x∣nonx2=x\sqrt{x^2} = |x| \qquad \textbf{non} \qquad \sqrt{x^2} = x

Provalo con x=−5x = -5: 25=5\sqrt{25} = 5, non −5-5. Una radice di indice pari restituisce sempre un risultato non negativo.

Razionalizzare

Avere una radice al denominatore è scomodo. Razionalizzare significa toglierla, moltiplicando sopra e sotto per la stessa quantità (che non cambia il valore della frazione).

Caso semplice — al denominatore c’è solo la radice:

35=35⋅55=355\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}

Caso con un binomio — si moltiplica per il coniugato, cioè lo stesso binomio col segno centrale cambiato, e si sfrutta la somma per differenza:

13+1=13+1⋅3−13−1=3−13−1=3−12\frac{1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}+1}\cdot\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{\sqrt{3}-1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}

Al denominatore è comparso (3)2−12=2(\sqrt3)^2 - 1^2 = 2: è esattamente la somma per differenza, usata per far sparire la radice.

Esercizio.

  1. Semplifica portando fuori dalla radice: 50\sqrt{50}, 18a2\sqrt{18a^2} (con a>0a > 0)
  2. Scrivi come potenza: x34\sqrt[4]{x^3}, y3\sqrt[3]{y}
  3. Per quali xx esiste 2x−6\sqrt{2x - 6}?
  4. Razionalizza: 27\dfrac{2}{\sqrt{7}} e 45−1\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1}
Mostra la soluzione

1. Cerco il quadrato perfetto più grande contenuto nel radicando:

50=25⋅2=5218a2=9⋅2⋅a2=3a2\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2} \qquad \sqrt{18a^2} = \sqrt{9 \cdot 2 \cdot a^2} = 3a\sqrt{2}

(Con a>0a > 0 posso scrivere aa e non ∣a∣|a|.)

2. Indice al denominatore, esponente al numeratore:

x34=x34y3=y13\sqrt[4]{x^3} = x^{\frac{3}{4}} \qquad \sqrt[3]{y} = y^{\frac{1}{3}}

3. Indice pari, quindi impongo il radicando non negativo:

2x−6≥0⟹x≥32x - 6 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 3

4. Prima è un monomio, moltiplico per la radice stessa:

27=277\frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}

La seconda è un binomio, quindi uso il coniugato 5+1\sqrt5 + 1:

45−1⋅5+15+1=4(5+1)5−1=4(5+1)4=5+1\frac{4}{\sqrt5 - 1}\cdot\frac{\sqrt5 + 1}{\sqrt5 + 1} = \frac{4(\sqrt5+1)}{5 - 1} = \frac{4(\sqrt5+1)}{4} = \sqrt5 + 1

Verifica. Controlla a occhio con la calcolatrice: 45−1≈41,236≈3,24\dfrac{4}{\sqrt5 - 1} \approx \dfrac{4}{1{,}236} \approx 3{,}24, e 5+1≈3,24\sqrt5 + 1 \approx 3{,}24 ✓. Razionalizzare cambia la scrittura, mai il valore.