Sistemi lineari in due incognite

Un’equazione con due incognite, come $x + 2y = 7$ , ha infinite soluzioni: scegli un valore di $x$ e ne ricavi uno di $y$ . Per determinarne una sola serve una seconda condizione: un sistema.

\begin{cases} 3x - 5y = -1 \\ x + 2y = 7 \end{cases}

Risolverlo significa trovare la coppia $(x, y)$ che soddisfa entrambe le equazioni contemporaneamente.

Metodo di sostituzione

È il più usato, e la strategia è: ridurre a una sola incognita.

Da una delle due equazioni, ricava una incognita in funzione dell’altra. Conviene scegliere quella col coefficiente 1, così non compaiono frazioni.
Sostituisci l’espressione trovata nell’altra equazione: ora ha una sola incognita.
Risolvi e ricava il valore.
Torna indietro a calcolare l’altra incognita.

Sul sistema di prima, la seconda equazione ha $x$ con coefficiente 1:

x = 7 - 2y

Sostituisco nella prima:

\begin{aligned} 3(7 - 2y) - 5y &= -1 \\ 21 - 6y - 5y &= -1 \\ -11y &= -1 - 21 \\ -11y &= -22 \\ y &= 2 \end{aligned}

E torno indietro: $x = 7 - 2(2) = 3$ . Soluzione: $(3,\, 2)$ .

Il passo 4 non è facoltativo. Trovare $y = 2$ non è la risposta: la soluzione di un sistema in due incognite è una coppia, e va scritta come tale.

È l’errore più frequente nelle verifiche: si arriva al valore di una sola incognita e ci si ferma lì.

Metodo di riduzione

Quando i coefficienti si prestano, si sommano o sottraggono le due equazioni in modo da far sparire un’incognita:

\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 2x - y = 4 \end{cases} \qquad\xrightarrow{\;\text{sottraggo}\;}\qquad 4y = 8 \quad\Longrightarrow\quad y = 2

Se i coefficienti non sono già uguali, si moltiplica un’equazione per un numero adatto prima di sommare. È il metodo più rapido quando le incognite hanno coefficienti “simmetrici”.

Metodo del confronto

Si ricava la stessa incognita da entrambe le equazioni e si uguagliano le due espressioni:

\begin{cases} x = 7 - 2y \\ x = \dfrac{-1 + 5y}{3} \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad 7 - 2y = \frac{-1+5y}{3}

I tre metodi danno sempre lo stesso risultato: si sceglie in base ai coefficienti, non per gusto.

un’incognita ha coefficiente 1 → sostituzione;
i coefficienti di un’incognita sono uguali o opposti → riduzione;
la stessa incognita è già isolata in entrambe → confronto.

Impossibile, indeterminato, e cosa significa graficamente

Ogni equazione di primo grado in due incognite rappresenta una retta nel piano. Risolvere il sistema significa cercare i punti in comune fra le due rette, e i casi possibili sono tre:

caso	rette	soluzioni
determinato	incidenti	una sola coppia: il punto d’incontro
impossibile	parallele distinte	nessuna
indeterminato	coincidenti	infinite

Come per le equazioni, te ne accorgi perché le incognite spariscono: se resta un’uguaglianza falsa ( $0 = 5$ ) il sistema è impossibile, se resta vera ( $0 = 0$ ) è indeterminato.

Esercizio. Risolvi:

$\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 3x + y = 9 \end{cases}$
$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$
$\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 5 \end{cases}$

Mostra la soluzione

1. La $y$ è già isolata: sostituzione diretta.

3x + (2x - 1) = 9 \quad\Longrightarrow\quad 5x = 10 \quad\Longrightarrow\quad x = 2

Torno indietro: $y = 2(2) - 1 = 3$ . Soluzione $(2,\, 3)$ .

2. I coefficienti di $y$ sono opposti: riduzione, sommo le due equazioni.

2x = 14 \quad\Longrightarrow\quad x = 7

Dalla prima: $7 + y = 10 \Rightarrow y = 3$ . Soluzione $(7,\, 3)$ .

3. Divido la prima per 2 e ottengo $x + 2y = 3$ , mentre la seconda dice $x + 2y = 5$ .

3 = 5 \quad\text{falso}

Impossibile, $S = \varnothing$ : sono due rette parallele distinte — stessa direzione, non si incontrano mai.

Verifica. Sostituisci la coppia trovata in entrambe le equazioni, non solo in quella che hai usato per ricavarla. Nel punto 1, con $(2,3)$ : la prima dà $3 = 4 - 1$ ✓, la seconda $6 + 3 = 9$ ✓. Controllarne una sola non prova niente.