filoconduttore

Le formule goniometriche

Superiori — triennioAggiornata: 6 agosto 2026

Prerequisiti: Le funzioni goniometriche

Le formule goniometriche servono a cambiare l’angolo: passare da α+β\alpha + \beta ai singoli α\alpha e β\beta, da 2α2\alpha ad α\alpha, da α\alpha ad α/2\alpha/2. Senza di esse un’espressione con angoli diversi è intrattabile; con esse si riduce a un angolo solo e si semplifica.

Addizione e sottrazione

sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

Nel coseno i segni si scambiano: al primo membro ++, al secondo −-. E i due addendi contengono funzioni dello stesso tipo (cos⁡cos⁡\cos\cos e sin⁡sin⁡\sin\sin), mentre nel seno sono incrociate (sin⁡cos⁡\sin\cos e cos⁡sin⁡\cos\sin).

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β⏟stesso tipo, segno rovesciato\underbrace{\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta}_{\text{stesso tipo, segno rovesciato}} sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β⏟incrociate, stesso segno\underbrace{\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta}_{\text{incrociate, stesso segno}}

E soprattutto: sin⁡(α+β)≠sin⁡α+sin⁡β\sin(\alpha+\beta) \ne \sin\alpha + \sin\beta. Provalo con α=β=30°\alpha=\beta=30°: a sinistra sin⁡60°=32≈0,87\sin 60° = \frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87, a destra 12+12=1\frac12+\frac12 = 1.

Duplicazione

Si ottengono ponendo β=α\beta = \alpha nelle formule di addizione:

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha cos⁡2α=cos⁡2α−sin⁡2α\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha

Il coseno di 2α2\alpha ha due forme alternative, ottenute con la relazione fondamentale, e scegliere quella giusta è metà del lavoro in un esercizio:

cos⁡2α=1−2sin⁡2αcos⁡2α=2cos⁡2α−1\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \qquad\qquad \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 tan⁡2α=2tan⁡α1−tan⁡2α\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}

Bisezione

sin⁡α2=±1−cos⁡α2cos⁡α2=±1+cos⁡α2\sin\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\alpha}{2}} \qquad\qquad \cos\frac{\alpha}{2} = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\alpha}{2}}

Il segno si sceglie dal quadrante di α/2\alpha/2, non da quello di α\alpha: è la trappola di queste due.

Semplificare un’espressione

Il metodo è sempre lo stesso, e vale più delle formule:

  1. Porta tutto allo stesso angolo — se compaiono 2α2\alpha e α\alpha, sciogli il 2α2\alpha con la duplicazione;
  2. scrivi tangenti e cotangenti come rapporti di seno e coseno;
  3. scomponi ciò che si può (spesso compare una differenza di quadrati cos⁡2−sin⁡2\cos^2 - \sin^2);
  4. semplifica i fattori uguali.

Esempio: semplificare   tan⁡2α (1+tan⁡α)(sin⁡α−cos⁡α)\;\tan 2\alpha\,(1 + \tan\alpha)(\sin\alpha - \cos\alpha).

sin⁡2αcos⁡2α(1+sin⁡αcos⁡α)(sin⁡α−cos⁡α)\frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha}\left(1 + \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)(\sin\alpha - \cos\alpha) =2sin⁡αcos⁡αcos⁡2α−sin⁡2α⋅cos⁡α+sin⁡αcos⁡α⋅(sin⁡α−cos⁡α)= \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\cos^2\alpha - \sin^2\alpha} \cdot \frac{\cos\alpha + \sin\alpha}{\cos\alpha} \cdot (\sin\alpha - \cos\alpha)

Il denominatore è una differenza di quadrati, (cos⁡α−sin⁡α)(cos⁡α+sin⁡α)(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\alpha + \sin\alpha): si semplificano (cos⁡α+sin⁡α)(\cos\alpha+\sin\alpha) e cos⁡α\cos\alpha, e resta

=2sin⁡α (sin⁡α−cos⁡α)cos⁡α−sin⁡α=−2sin⁡α= \frac{2\sin\alpha\,(\sin\alpha - \cos\alpha)}{\cos\alpha - \sin\alpha} = -2\sin\alpha

perché (sin⁡α−cos⁡α)(\sin\alpha - \cos\alpha) e (cos⁡α−sin⁡α)(\cos\alpha - \sin\alpha) sono opposti: il loro rapporto vale −1-1.

Il segno meno finale non è un dettaglio: nasce dal fatto che A−B=−(B−A)A - B = -(B - A), ed è il passaggio che si dimentica più spesso quando si semplifica. Quando due parentesi sembrano uguali ma con i termini scambiati, non si cancellano: lasciano un −1-1.

Esercizio.

  1. Calcola cos⁡75°\cos 75° usando le formule di addizione.
  2. Sapendo che sin⁡α=35\sin\alpha = \dfrac35 con α\alpha nel primo quadrante, calcola sin⁡2α\sin 2\alpha e cos⁡2α\cos 2\alpha.
  3. Semplifica   sin⁡2α1+cos⁡2α\;\dfrac{\sin 2\alpha}{1 + \cos 2\alpha}.
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1. Scrivo 75°=45°+30°75° = 45° + 30° e uso la formula del coseno (segno rovesciato):

cos⁡75°=cos⁡45°cos⁡30°−sin⁡45°sin⁡30°=22⋅32−22⋅12=6−24\cos 75° = \cos45°\cos30° - \sin45°\sin30° = \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}

2. Prima il coseno: nel primo quadrante è positivo, cos⁡α=45\cos\alpha = \frac45.

sin⁡2α=2⋅35⋅45=2425\sin 2\alpha = 2 \cdot \frac35 \cdot \frac45 = \frac{24}{25} cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2⋅925=725\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha = 1 - 2\cdot\frac{9}{25} = \frac{7}{25}

3. Uso la duplicazione, scegliendo per il coseno la forma che fa sparire l’1:

2sin⁡αcos⁡α1+(2cos⁡2α−1)=2sin⁡αcos⁡α2cos⁡2α=sin⁡αcos⁡α=tan⁡α\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{1 + (2\cos^2\alpha - 1)} = \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha} = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \tan\alpha

Verifica. Nel punto 2 controlla con la relazione fondamentale sull’angolo doppio: (2425)2+(725)2=576+49625=1\left(\frac{24}{25}\right)^2 + \left(\frac{7}{25}\right)^2 = \frac{576 + 49}{625} = 1 ✓. Nel punto 3, prova con α=45°\alpha = 45°: a sinistra sin⁡90°1+cos⁡90°=11=1\frac{\sin 90°}{1+\cos 90°} = \frac{1}{1} = 1, a destra tan⁡45°=1\tan 45° = 1 ✓.