Sistemi di secondo grado — filoconduttore

Un sistema è di secondo grado quando, moltiplicando i gradi delle sue equazioni, si ottiene 2: in pratica una equazione è di primo grado e l’altra di secondo.

\begin{cases} x + 3y = 0 \\ x^2 - y = 4 \end{cases}

Il metodo è uno solo: sostituzione

A differenza dei sistemi lineari, qui riduzione e confronto non funzionano: non puoi sommare equazioni di grado diverso e sperare che qualcosa si semplifichi. Resta la sostituzione, e l’ordine dei passi non è indifferente:

Ricava un’incognita dall’equazione di primo grado — mai dall’altra, o ti ritrovi con una radice quadrata addosso.
Sostituisci nell’equazione di secondo grado: ottieni un’equazione di secondo grado in una sola incognita.
Risolvi: di solito trovi due valori.
Torna indietro e calcola l’altra incognita per ciascuno dei valori trovati.

Il passo 4 va fatto una volta per ogni soluzione. Se dal passo 3 escono $y_1 = 2$ e $y_2 = -3$ , devi calcolare la $x$ corrispondente a $y_1$ e quella corrispondente a $y_2$ : il risultato sono due coppie, non due numeri sciolti.

S = \{\,(x_1,\, y_1),\; (x_2,\, y_2)\,\}

Mescolare le soluzioni — prendere $x_1$ con $y_2$ — è l’errore classico, e produce coppie che non verificano il sistema.

Un esempio

\begin{cases} x + 3y = 0 \\ x^2 - y = 4 \end{cases}

Dalla prima, che è di primo grado: $\;x = -3y$ .

Sostituisco nella seconda:

(-3y)^2 - y = 4 \quad\Longrightarrow\quad 9y^2 - y - 4 = 0

Risolvo con la formula: $\Delta = 1 + 144 = 145$ … i conti non vengono comodi, ma il metodo è quello. Con numeri scelti bene si arriva a due valori di $y$ , e per ciascuno si ricava $x = -3y$ .

Cosa significa graficamente

Un’equazione di primo grado in due incognite è una retta; una di secondo grado è una conica (parabola, circonferenza, ellisse, iperbole). Risolvere il sistema significa trovarne i punti di intersezione.

Da qui si capisce perché le soluzioni sono normalmente due, e cosa vuol dire quando non lo sono:

$\Delta$ dell’equazione risolvente	intersezioni	la retta è…
$\Delta > 0$	due punti	secante
$\Delta = 0$	un punto (doppio)	tangente
$\Delta < 0$	nessuna	esterna

Il discriminante dell’equazione risolvente non è un dettaglio di calcolo: dice la posizione reciproca fra la retta e la curva. È il fatto che userai per trovare le rette tangenti a una parabola o a una circonferenza — si impone $\Delta = 0$ e si ricava il coefficiente angolare.

Sistemi in forma normale

Prima di sostituire conviene sistemare il sistema in forma normale: incognite a sinistra, termine noto a destra, in ogni equazione.

\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 2x - y = -1 \end{cases}

Non è pedanteria: con le equazioni ordinate allo stesso modo si vede subito quale ha coefficiente 1, cioè da quale conviene ricavare.

Esercizio. Risolvi:

$\begin{cases} y = x + 1 \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}$
$\begin{cases} x - y = 2 \\ xy = 8 \end{cases}$

Mostra la soluzione

1. La $y$ è già isolata nella prima. Sostituisco nella seconda:

x^2 + (x+1)^2 = 25 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + x^2 + 2x + 1 = 25 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 + 2x - 24 = 0

Divido tutto per 2:

x^2 + x - 12 = 0 \qquad \Delta = 1 + 48 = 49 \qquad x_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{2}

Quindi $x_1 = 3$ e $x_2 = -4$ . Ora per ciascuno ricavo la $y$ dalla prima equazione:

x_1 = 3 \;\to\; y_1 = 4 \qquad\qquad x_2 = -4 \;\to\; y_2 = -3

S = \{\,(3,\,4),\; (-4,\,-3)\,\}

Graficamente: la retta $y = x+1$ taglia in due punti la circonferenza di raggio 5 centrata nell’origine — è secante, come dice $\Delta = 49 > 0$ .

2. Dalla prima: $x = y + 2$ . Sostituisco:

(y+2)\,y = 8 \quad\Longrightarrow\quad y^2 + 2y - 8 = 0 \qquad \Delta = 4 + 32 = 36

y_{1,2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \quad\Longrightarrow\quad y_1 = 2,\; y_2 = -4

E le $x$ corrispondenti: $x_1 = 4$ , $x_2 = -2$ .

S = \{\,(4,\,2),\; (-2,\,-4)\,\}

Verifica. Sostituisci ogni coppia in entrambe le equazioni. Per $(4,2)$ : $4 - 2 = 2$ ✓ e $4 \cdot 2 = 8$ ✓. È anche il controllo che smaschera le coppie mescolate: $(4,-4)$ darebbe $4-(-4) = 8 \ne 2$ , sbagliata.