La parabola — filoconduttore

Nel piano cartesiano un’equazione di primo grado disegna una retta. Se invece la $y$ resta di primo grado ma la $x$ compare al quadrato — cioè $y = ax^2+bx+c$ con $a \neq 0$ — la curva è una parabola, ed è la stessa che si incontra ovunque: la traiettoria di un pallone, il profilo di un’antenna satellitare, il grafico che decide il segno di una disequazione di secondo grado.

Non tutte le equazioni di secondo grado danno parabole: $x^2+y^2=4$ , per esempio, è una circonferenza — la curva della prossima lezione. Qui la forma è quella con la $y$ isolata.

Come per la retta, l’obiettivo non è disegnare per punti — è leggere il grafico dai coefficienti.

Il caso

y = x^2 - 4x + 3

Tre numeri, e da soli dicono tutto: dove sta il vertice, da che parte è girata, dove taglia gli assi.

Parabola con vertice, asse di simmetria, le due intersezioni con l'asse x e l'intersezione con l'asse y

La regola

Data $y = ax^2 + bx + c$ con $a \neq 0$ :

elemento	come si trova	nell’esempio
concavità	verso l’alto se $a>0$ , verso il basso se $a<0$	$a = 1 > 0$ : verso l’alto
asse di simmetria	$x = -\dfrac{b}{2a}$	$x = 2$
vertice	$V\left(-\dfrac{b}{2a},\; -\dfrac{\Delta}{4a}\right)$	$V(2,\,-1)$
intersezione con $y$	$(0,\,c)$	$(0,\,3)$
intersezioni con $x$	si risolve $ax^2+bx+c = 0$	$x = 1$ e $x = 3$

Nell’esempio: $\Delta = 16 - 12 = 4$ , quindi $-\frac{\Delta}{4a} = -1$ e il vertice è $(2,-1)$ .

L’ascissa del vertice è la formula, l’ordinata si ottiene sostituendo. Se non ricordi $-\frac{\Delta}{4a}$ , calcola $x_V = -\frac{b}{2a}$ e poi mettilo nell’equazione: $y_V = f(x_V)$ . Nell’esempio $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ ✓, stesso risultato senza imparare una formula in più.

E il vertice non è solo una coppia di coordinate: è il punto più basso della curva se $a > 0$ , il più alto se $a < 0$ . Quando un problema chiede “la quota massima del pallone” o “il costo minimo”, sta chiedendo il vertice.

Il vertice non ha la stessa formula per tutte e due le coordinate.

\underbrace{V\left(-\frac{b}{2a},\; f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)}_{\text{corretto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{V\left(-\frac{b}{2a},\; -\frac{b}{2a}\right)}_{\text{sbagliato}}

$-\frac{b}{2a}$ è un’ascissa: dice dove sta l’asse di simmetria, non quanto è alto il vertice.

Quanti punti sull’asse x: lo decide $\Delta$

Le intersezioni con l’asse $x$ sono le soluzioni di $ax^2+bx+c=0$ , quindi valgono i tre casi già noti dalle equazioni di secondo grado:

\begin{aligned} \Delta &> 0 \;\rightarrow\; \text{due punti} \\ \Delta &= 0 \;\rightarrow\; \text{un punto (tangente all'asse)} \\ \Delta &< 0 \;\rightarrow\; \text{nessun punto} \end{aligned}

È lo stesso oggetto visto dalle disequazioni di secondo grado, dall’altro lato: lì la parabola serve come strumento grafico per leggere un segno, qui è la curva che si studia. Chiedere dove $ax^2+bx+c > 0$ significa chiedere dove la parabola sta sopra l’asse x — concavità più zeri, e il disegno risponde da solo.

Tre casi che si riconoscono a vista

Quando uno dei coefficienti manca, la parabola si semplifica:

$c = 0$ → $y = ax^2 + bx$ : raccogliendo, $x(ax+b) = 0$ , quindi uno degli zeri è $x=0$ e la parabola passa per l’origine;
$b = 0$ → $y = ax^2 + c$ : l’asse di simmetria è $x = 0$ , cioè l’asse y, e gli eventuali zeri sono opposti;
$b = c = 0$ → $y = ax^2$ : entrambe le cose insieme, vertice nell’origine.

Retta e parabola

Per trovare i punti comuni si mette a sistema, esattamente come fra due rette:

\begin{cases} y = mx + q\\[2pt] y = ax^2+bx+c \end{cases}

Sostituendo si ottiene un’equazione di secondo grado, e di nuovo è il suo discriminante a decidere:

\Delta > 0 \;\rightarrow\; \text{secante (2 punti)} \qquad \Delta = 0 \;\rightarrow\; \textbf{tangente} \qquad \Delta < 0 \;\rightarrow\; \text{esterna}

La condizione di tangenza è $\Delta = 0$ , ed è ciò che si impone quando un esercizio chiede la retta tangente o un parametro che la renda tale.

Il criterio riguarda le rette non verticali, e “un solo punto in comune” non basta a dire tangente.

La retta $x = 1$ incontra la parabola $y = x^2$ in un punto solo, $(1,\,1)$ , e non è affatto tangente: la attraversa. Non c’è contraddizione, perché per una retta verticale $x = k$ la sostituzione non produce nessuna equazione di secondo grado — dà direttamente $y = ak^2+bk+c$ , quindi non c’è nessun $\Delta$ da guardare.

Il sistema scritto sopra usa $y = mx+q$ : è lì che si nasconde l’ipotesi di retta non verticale.

Esercizio.

Della parabola $y = x^2 - 6x + 5$ trova concavità, vertice, asse e intersezioni con gli assi.
Della parabola $y = -2x^2 + 8x$ trova vertice e intersezioni con l’asse $x$ .
La parabola $y = x^2 + 2x + 5$ interseca l’asse $x$ ? Rispondi senza calcolare le radici.
Trova per quale valore di $q$ la retta $y = 2x + q$ è tangente alla parabola $y = x^2$ .

Mostra la soluzione

1. $a = 1 > 0$ : concavità verso l’alto.

x_V = -\frac{-6}{2} = 3 \qquad y_V = 9 - 18 + 5 = -4 \qquad V(3,\,-4)

Asse: $x = 3$ . Intersezione con $y$ : $(0,\,5)$ . Intersezioni con $x$ : $x^2-6x+5=0$ dà $x=1$ e $x=5$ .

2. $a = -2 < 0$ : concavità verso il basso. Manca $c$ , quindi passa per l’origine.

x_V = -\frac{8}{2\cdot(-2)} = 2 \qquad y_V = -8 + 16 = 8 \qquad V(2,\,8)

Zeri: $-2x^2+8x = 0 \Rightarrow -2x(x-4) = 0 \Rightarrow x = 0 \;\lor\; x = 4$ .

3. Basta il discriminante:

\Delta = 4 - 20 = -16 < 0

Nessuna intersezione: la parabola sta tutta sopra l’asse $x$ (concavità verso l’alto e nessuno zero).

4. Si mette a sistema e si impone $\Delta = 0$ :

x^2 = 2x + q \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x - q = 0

\Delta = 4 + 4q = 0 \quad\Longrightarrow\quad q = -1

Verifica. Con $q = -1$ il sistema dà $x^2-2x+1 = 0$ , cioè $(x-1)^2 = 0$ : una sola soluzione $x = 1$ , quindi un solo punto di contatto $(1,\,1)$ ✓.

Il quadrato perfetto è la firma della tangenza, ma si vede a occhio solo quando il coefficiente di $x^2$ vale 1, come qui. Se non vale 1, prima si divide tutta l’equazione per quel coefficiente e poi si guarda: con $2x^2-4x+2 = 0$ il trinomio non sembra un quadrato, ma diviso per 2 diventa $(x-1)^2$ ✓.

Il caso

La regola

Quanti punti sull’asse x: lo decide Δ\DeltaΔ

Tre casi che si riconoscono a vista

Retta e parabola

Quanti punti sull’asse x: lo decide $\Delta$