Disequazioni di primo grado

Una disequazione si risolve quasi come un’equazione, ma la risposta è di natura diversa: non un numero, ma tutti i numeri che rendono vera la disuguaglianza. La soluzione è un intervallo.

Cosa si può fare, e cosa cambia il verso

Valgono le stesse mosse delle equazioni, con una sola eccezione, ed è tutta la lezione:

si può sommare o sottrarre la stessa quantità ai due membri: il verso resta;
si può moltiplicare o dividere per un numero positivo: il verso resta;
si può moltiplicare o dividere per un numero negativo, ma allora il verso si rovescia.

Non è una convenzione da mandare a memoria, è un fatto sui numeri. Parti da una disuguaglianza vera e moltiplica per $-1$ :

-3 < 2 \qquad\xrightarrow{\;\cdot\,(-1)\;}\qquad 3 > -2

Se il verso non girasse otterresti $3 < -2$ , che è falso. Sulla retta dei numeri moltiplicare per un negativo ribalta l’ordine: chi era più a sinistra finisce più a destra.

Il procedimento

\begin{aligned} 3x + 2 &> 8 \\[4pt] 3x &> 6 &&\text{(sposto il 2, cambiando segno)} \\[4pt] x &> 2 &&\text{(divido per 3: positivo, verso invariato)} \end{aligned}

La soluzione è $x > 2$ : tutti i numeri maggiori di 2. Si scrive anche come intervallo, $S = (2, +\infty)$ , o si rappresenta sulla retta con una semiretta.

Ora lo stesso esercizio con un coefficiente negativo:

\begin{aligned} 7 - x &> 0 \\[4pt] -x &> -7 \\[4pt] x &< 7 &&\text{(divido per } -1 \text{: il verso gira)} \end{aligned}

Il verso gira solo quando moltiplichi o dividi per un numero negativo. Spostare un termine cambiando segno non lo gira: sono due operazioni diverse, e confonderle è l’errore numero uno.

Trucco pratico: porta l’incognita dalla parte dove il suo coefficiente viene positivo, così non devi mai dividere per un negativo. Da $7 - x > 0$ puoi scrivere direttamente $7 > x$ .

Estremi inclusi o esclusi

Il simbolo dice se il valore di confine fa parte della soluzione:

disequazione	soluzione	il 2 è incluso?
$x > 2$	$(2, +\infty)$	no
$x \ge 2$	$[2, +\infty)$	sì

Sulla retta si usa il pallino vuoto per l’estremo escluso e pieno per quello incluso. Nella scrittura a intervalli, la parentesi tonda esclude e la quadra include.

I casi limite

Come per le equazioni, l’incognita può sparire:

2x + 5 > 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad 5 > 1

È sempre vero, quindi la disequazione è verificata per ogni $x$ : $S = \mathbb{R}$ . Se invece restasse $5 < 1$ , falso, allora $S = \varnothing$ .

Esercizio. Risolvi e scrivi la soluzione come intervallo:

$4x - 3 \le 9$
$-2x + 1 < 7$
$\dfrac{x}{2} - 1 \ge \dfrac{x - 4}{3}$
$3(x - 2) > 3x + 1$

Mostra la soluzione

1. Coefficiente positivo, nessun ribaltamento:

4x \le 12 \quad\Longrightarrow\quad x \le 3 \qquad S = (-\infty,\, 3]

Estremo incluso: il simbolo era $\le$ .

2. Qui il coefficiente è negativo:

-2x < 6 \quad\Longrightarrow\quad x > -3 \qquad S = (-3,\, +\infty)

Dividendo per $-2$ il verso è girato da $<$ a $>$ .

3. Denominatore comune 6, moltiplico ogni termine (il 6 è positivo, il verso resta):

3x - 6 \ge 2(x - 4) \quad\Longrightarrow\quad 3x - 6 \ge 2x - 8

3x - 2x \ge -8 + 6 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -2 \qquad S = [-2,\, +\infty)

4. Svolgo la parentesi:

3x - 6 > 3x + 1 \quad\Longrightarrow\quad -6 > 1

Falso: $S = \varnothing$ , nessun valore la verifica.

Verifica. Prendi un numero dentro l’intervallo trovato e sostituiscilo nella disequazione di partenza. Nel punto 2, con $x = 0$ : $\;-2(0) + 1 = 1 < 7$ ✓. Poi provane uno fuori, ad esempio $x = -5$ : $\;10 + 1 = 11 < 7$ è falso ✓. Due sostituzioni e sai se il verso è girato nel modo giusto.