Sistemi di disequazioni — filoconduttore

Un sistema di disequazioni chiede una cosa sola: quali $x$ soddisfano tutte le condizioni contemporaneamente. Non è un tipo nuovo di disequazione — sono quelle che sai già risolvere, messe insieme da una graffa che significa “e anche”.

Compare da solo negli esercizi, ma soprattutto compare dentro altri problemi: il campo di esistenza di una radice, le condizioni di un problema di geometria, la richiesta “per quali valori del parametro”. Ogni volta che una situazione impone due vincoli insieme, quello è un sistema.

Il caso

\begin{cases} 2x - 1 > 0 \\[2pt] 3 - x < 0 \end{cases}

Le due disequazioni si risolvono separatamente — la graffa non entra nei conti:

2x > 1 \;\Longrightarrow\; x > \tfrac{1}{2} \qquad\qquad -x < -3 \;\Longrightarrow\; x > 3

Nella seconda ho diviso per $-1$ : il verso si rovescia. È l’errore che si paga tutte le volte, e qui costa doppio, perché sbagliare una riga sballa l’intersezione di tutto il sistema.

Ora servono le $x$ che soddisfano entrambe. Non si sommano, non si moltiplicano: si guarda dove le due soluzioni si sovrappongono.

Grafico di un sistema: due righe con le soluzioni parziali x > 1/2 e x > 3, e sotto la riga dell'intersezione, che tiene solo x > 3

S: \; x > 3

La zona fra $\tfrac{1}{2}$ e $3$ soddisfa la prima ma non la seconda, quindi cade. Rimane la parte dove tutte le righe sono piene.

La regola

Risolvi ogni disequazione per conto suo, fino alla forma $x > k$ , $x < k$ o un intervallo.
Riporta ogni soluzione su una riga della stessa retta, allineando i valori notevoli.
La soluzione del sistema è la colonna dove tutte le righe sono piene: l’intersezione.

\begin{cases} A(x) > 0 \\[2pt] B(x) > 0 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad S = S_1 \cap S_2

Un sistema non è un prodotto. Sono due domande diverse e danno due risposte diverse.

\underbrace{\begin{cases} x > 0 \\[2pt] x + 1 > 0\end{cases}}_{S = \{x > 0\}} \qquad\neq\qquad \underbrace{x\,(x+1) > 0}_{S = \{x < -1 \;\lor\; x > 0\}}

Nel sistema chiedo che ognuno dei due sia positivo. Nel prodotto chiedo che il risultato sia positivo — e un prodotto è positivo anche quando i due fattori sono entrambi negativi, che è esattamente il pezzo $x < -1$ che il sistema butta via.

Da qui la differenza di strumento: il sistema si risolve con il grafico dell’intersezione (righe piene / righe vuote), il prodotto con il grafico dei segni ( $+$ e $-$ da moltiplicare colonna per colonna). Disegnarli uguali è il modo più rapido di confondersi.

Quando il risultato non è un intervallo

Tre casi che sembrano anomalie e non lo sono.

L’intersezione è vuota. Le due condizioni si escludono a vicenda:

\begin{cases} x > 5 \\[2pt] x < 1 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad S = \varnothing

Nessun numero è insieme maggiore di 5 e minore di 1. $\varnothing$ è una risposta legittima, non un esercizio sbagliato.

Una riga è sempre verificata. Allora non vincola niente e il sistema si riduce alle altre:

\begin{cases} x^2 + 3 > 0 \\[2pt] x - 2 \le 0 \end{cases} \qquad x^2 + 3 > 0 \text{ vale per ogni } x \qquad\Longrightarrow\qquad S: \; x \le 2

Una riga è verificata tranne un punto. È il caso del quadrato:

\begin{cases} x^2 - 6x + 9 > 0 \\[2pt] x^2 - 4 > 0 \end{cases}

La prima è $(x-3)^2 > 0$ : un quadrato non è mai negativo, quindi è verificata ovunque tranne dove vale zero, cioè $x = 3$ . La sua soluzione è $\mathbb{R} - \{3\}$ .

La seconda dà $x < -2 \lor x > 2$ . Intersecando:

S: \; x < -2 \quad\lor\quad 2 < x < 3 \quad\lor\quad x > 3

Il $3$ è un buco dentro una zona che per il resto va bene. Chi risolve $(x-3)^2 > 0$ scrivendo " $x > 3$ " — cioè trattando il quadrato come se si potesse togliere — perde metà soluzione.

Nel grafico di un sistema ogni riga risponde a sì o no, non a $+$ o $-$ : o quella $x$ va bene per quella condizione, o non va bene. La soluzione è dove tutti i “sì” si sovrappongono.

Se una sola riga è vuota in una zona, quella zona è persa: nel sistema basta un no.

Esercizio. Risolvi i sistemi:

$\begin{cases} 3x - 6 > 0 \\[2pt] x + 1 < 5 \end{cases}$
$\begin{cases} x - 1 \ge 0 \\[2pt] 2x + 3 < 1 \end{cases}$
$\begin{cases} x^2 - 9 < 0 \\[2pt] x + 1 > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} -2x + 6 \ge 0 \\[2pt] x^2 - 4x + 4 > 0 \end{cases}$
Trova il campo di esistenza di $\sqrt{x+3} + \dfrac{1}{\sqrt{2x-1}} + \sqrt{5-x}$ .

Mostra la soluzione

1. $3x > 6 \Rightarrow x > 2$ ; $x < 4$ . Le due zone si sovrappongono fra 2 e 4:

S: \; 2 < x < 4

2. $x \ge 1$ ; $2x < -2 \Rightarrow x < -1$ . Non c’è nessun numero che sia insieme $\ge 1$ e $< -1$ :

S = \varnothing

3. $x^2 - 9 < 0$ è una disequazione di secondo grado con $\Delta > 0$ e verso $<$ : la soluzione è interna agli zeri $\pm 3$ , cioè $-3 < x < 3$ . La seconda dà $x > -1$ .

S: \; -1 < x < 3

4. $-2x \ge -6 \Rightarrow x \le 3$ (verso rovesciato, ho diviso per $-2$ ). La seconda è $(x-2)^2 > 0$ , verificata ovunque tranne in $x = 2$ .

S: \; x \le 3 \;\text{ con } x \ne 2 \qquad\text{cioè}\qquad x < 2 \;\lor\; 2 < x \le 3

5. È il caso annunciato in apertura: le condizioni di esistenza sono un sistema. Ogni pezzo mette la sua: il primo radicando non negativo, il secondo strettamente positivo, il terzo non negativo. Il secondo è l’unico a escludere lo zero, e non perché sia sotto radice — $\sqrt{0}=0$ esiste benissimo — ma perché quella radice sta a denominatore: le due condizioni sono radicando $\ge 0$ e denominatore $\ne 0$ , ed è la seconda a togliere l’estremo.

\begin{cases} x + 3 \ge 0 \\[2pt] 2x - 1 > 0 \\[2pt] 5 - x \ge 0 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad x \ge -3 \qquad x > \tfrac{1}{2} \qquad x \le 5

Tre condizioni, tre righe sul grafico: il metodo non cambia, cambia il numero di righe — e l’errore tipico è dimenticarne una. Tutte piene solo fra $\tfrac12$ e $5$ :

S: \; \tfrac{1}{2} < x \le 5

Gli estremi si guardano uno per uno: $\tfrac12$ escluso perché il suo verso era stretto, $5$ incluso.

Verifica. Un sistema si controlla con un numero per zona, sostituito nelle disequazioni di partenza. Nel punto 4, con $x = 2$ : la prima dà $-4 + 6 = 2 \ge 0$ ✓, ma la seconda dà $4 - 8 + 4 = 0 > 0$ ✗ — un no, e tanto basta per escluderlo. Con $x = 0$ : $6 \ge 0$ ✓ e $4 > 0$ ✓, quindi $0$ è dentro, coerente con la soluzione trovata.

Il controllo va fatto anche su un numero fuori dalla soluzione: se ti risulta accettato, l’errore è nell’intersezione, non nei conti delle singole righe.