Sistemi a tre incognite, determinanti e Cramer

Con due equazioni e due incognite la sostituzione basta e avanza. Con tre, i conti si allungano e gli errori di segno si moltiplicano; e resta scoperta una domanda che il metodo di sostituzione risponde solo dopo aver fatto tutto: questo sistema una soluzione ce l’ha?

Il determinante risponde prima. È un numero che si calcola dai soli coefficienti — senza toccare i termini noti — e dice subito in quale dei tre casi ci si trova.

Tre equazioni, tre incognite: la sostituzione

Il metodo non cambia, cambia solo la contabilità: si ricava un’incognita da un’equazione, la si sostituisce nelle altre due, e ci si ritrova con un sistema $2\times2$ già noto.

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\[2pt] 2x - y + 3z = 9 \\[2pt] x + 2y - z = 2 \end{cases}$$

Conviene ricavare l’incognita che ha coefficiente $1$: qui la $x$ dalla prima.

$$x = 6 - y - z$$

Sostituendo nelle altre due — in entrambe, non in una sola:

$$\begin{aligned} 2(6-y-z) - y + 3z &= 9 &&\Longrightarrow&& -3y + z = -3 \\[2pt] (6-y-z) + 2y - z &= 2 &&\Longrightarrow&& y - 2z = -4 \end{aligned}$$

Ora è un sistema in due incognite. Dalla prima $z = 3y - 3$; sostituendo nella seconda:

$$y - 2(3y-3) = -4 \qquad\Longrightarrow\qquad -5y = -10 \qquad\Longrightarrow\qquad y = 2$$

E a ritroso: $z = 3\cdot 2 - 3 = 3$, poi $x = 6 - 2 - 3 = 1$.

$$(x,\,y,\,z) = (1,\,2,\,3)$$

Il controllo si fa in tutte e tre le equazioni di partenza: $1+2+3=6$ ✓, $2-2+9=9$ ✓, $1+4-3=2$ ✓. Verificarne solo una non prova niente — la sostituzione la rende vera per costruzione.

Il determinante di una matrice 2×2

Scritto un sistema in forma canonica — incognite a sinistra nello stesso ordine, termini noti a destra —

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\[2pt] a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

i quattro coefficienti formano una tabella, e il suo determinante è la differenza fra i prodotti delle due diagonali:

$$\Delta = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix} = a_1b_2 - a_2b_1$$

L’ordine dei due prodotti non è una convenzione decorativa: scambiarli cambia il segno di $\Delta$, e con esso il segno delle soluzioni. La diagonale che scende da sinistra si somma.

La regola di Cramer

$$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} \qquad\qquad y = \frac{\Delta_y}{\Delta}$$

dove $\Delta_x$ e $\Delta_y$ si ottengono da $\Delta$ sostituendo la colonna dell’incognita con la colonna dei termini noti:

$$\Delta_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix} \qquad\qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}$$

Un esempio:

$$\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\[2pt] x - y = -1 \end{cases}$$ $$\begin{aligned} \Delta &= 3\cdot(-1) - 1\cdot 2 = -5 \\[2pt] \Delta_x &= 7\cdot(-1) - (-1)\cdot 2 = -5 \\[2pt] \Delta_y &= 3\cdot(-1) - 1\cdot 7 = -10 \end{aligned}$$ $$x = \frac{-5}{-5} = 1 \qquad y = \frac{-10}{-5} = 2$$

Controprova nelle equazioni di partenza: $3+4=7$ ✓, $1-2=-1$ ✓.

Cosa dice $\Delta$ quando vale zero

Le tre situazioni che nella lezione sui sistemi in due incognite si riconoscevano graficamente — rette incidenti, parallele, coincidenti — hanno qui un criterio puramente numerico.

condizione	il sistema è	soluzioni
$\Delta \ne 0$	determinato	una sola
$\Delta = 0$ e almeno uno fra $\Delta_x, \Delta_y$ diverso da zero	impossibile	nessuna
$\Delta = 0$ e $\Delta_x = \Delta_y = 0$	indeterminato	infinite

Il perché è nella formula stessa: $x = \Delta_x/\Delta$. Se $\Delta = 0$ e il numeratore no, la divisione è impossibile — e infatti il sistema lo è. Se sono zero entrambi, la scrittura $0/0$ non determina niente — e infatti il sistema è indeterminato. La regola non è da memorizzare: si legge nella frazione.

Due casi concreti.

$$\begin{cases} 2x - 3y = 1 \\[2pt] 2x - 3y = 7 \end{cases} \qquad \Delta = 2(-3) - 2(-3) = 0 \qquad \Delta_x = 1(-3) - 7(-3) = 18 \ne 0$$

Sistema impossibile, ed era prevedibile a occhio: la stessa espressione non può valere $1$ e $7$ insieme.

$$\begin{cases} 5x - 2y = 1 \\[2pt] 15x - 6y = 3 \end{cases} \qquad \Delta = 0 \qquad \Delta_x = 0 \qquad \Delta_y = 0$$

Sistema indeterminato: la seconda equazione è la prima moltiplicata per $3$. Due equazioni scritte, ma una sola informazione — e un’informazione sola non basta a fissare due incognite.

Il determinante 3×3: la regola di Sarrus

Per una tabella $3\times3$ il determinante non è più una singola differenza di prodotti: sono sei prodotti, tre col $+$ e tre col $-$. La regola di Sarrus li fa vedere tutti in una volta, ricopiando le prime due colonne a destra della tabella:

$$\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi$$

Con questo, Cramer funziona identico: $\Delta$ dai coefficienti, e $\Delta_x$, $\Delta_y$, $\Delta_z$ sostituendo di volta in volta una colonna con i termini noti. Sul sistema di prima:

$$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = 5 \qquad \Delta_x = 5 \qquad \Delta_y = 10 \qquad \Delta_z = 15$$ $$x = \frac{5}{5} = 1 \qquad y = \frac{10}{5} = 2 \qquad z = \frac{15}{5} = 3$$

Gli stessi valori trovati per sostituzione: i due metodi non sono alternativi, sono due strade verso lo stesso posto — e usarne una per controllare l’altra è il modo più solido di verificare un sistema.