Gradi e radianti

I gradi si usano da quattromila anni e funzionano benissimo per dire dove punta una bussola. Ma appena un angolo entra dentro una formula insieme a un tempo o a una lunghezza, i gradi smettono di andare bene — e serve un’altra unità.

Il caso

Un segnale sinusoidale — una tensione alternata, un suono, un’onda radio — si scrive così:

$$s(t) = A\,\sin(2\pi f\,t + \varphi)$$

Il seno lo incontrerai nella prossima lezione — per ora basta sapere che è una funzione che dentro la parentesi vuole un angolo. Guarda cosa c’è dentro: una frequenza $f$ in hertz moltiplicata per un tempo $t$ in secondi. Hertz per secondi fa un numero puro, senza unità. Poi ci si somma $\varphi$.

Perché quella somma abbia senso, anche $\varphi$ deve essere un numero puro. E “45 gradi” non lo è: il grado è un’unità di misura arbitraria, un $\tfrac{1}{360}$ di giro deciso dai babilonesi. Serve un modo di misurare gli angoli che produca numeri puri.

La regola

Il radiante misura un angolo con il rapporto fra l’arco che sottende e il raggio:

$$\theta = \frac{\text{arco}}{\text{raggio}}$$

È un rapporto fra due lunghezze, quindi i metri si semplificano: il radiante è un numero puro. Un angolo di 1 rad è quello che stacca un arco lungo esattamente quanto il raggio.

Da qui viene tutto il resto. Un giro completo ha arco $2\pi r$, quindi

$$\theta_{\text{giro}} = \frac{2\pi r}{r} = 2\pi \ \text{rad} = 360°$$

e mezzo giro, che è il valore da tenere a mente:

La conversione, con una proporzione sola

L’errore è imparare due formule e poi non ricordare quale si moltiplica e quale si divide. Non servono: da $\pi = 180°$ esce una proporzione, e la proporzione si legge nei due versi.

$$\frac{\text{radianti}}{\pi} = \frac{\text{gradi}}{180}$$

Da lì, isolando quello che serve:

$$\begin{aligned} \text{gradi} &= \text{radianti} \cdot \frac{180}{\pi} \\ \text{radianti} &= \text{gradi} \cdot \frac{\pi}{180} \end{aligned}$$

Un modo di controllare senza ricordare niente: $\pi \approx 3{,}14$ è un numero piccolo, 180 è un numero grande. Se stai passando ai gradi il risultato deve crescere, se stai passando ai radianti deve rimpicciolire. Se ti viene il contrario hai girato la frazione.

Gli angoli notevoli

Questi conviene riconoscerli a vista, perché tornano in ogni esercizio:

gradi	radianti		gradi	radianti
$0°$	$0$		$90°$	$\dfrac{\pi}{2}$
$30°$	$\dfrac{\pi}{6}$		$180°$	$\pi$
$45°$	$\dfrac{\pi}{4}$		$270°$	$\dfrac{3\pi}{2}$
$60°$	$\dfrac{\pi}{3}$		$360°$	$2\pi$

Lo schema si vede a occhio: più il denominatore è grande, più l’angolo è piccolo — $\pi/6$ è la sesta parte di mezzo giro, cioè $30°$.

Perché la goniometria lavora in radianti

C’è un motivo più profondo del “sono numeri puri”, e si vede più avanti: con gli angoli in radianti la derivata di $\sin x$ è esattamente $\cos x$. In gradi non lo è — salta fuori un fattore $\pi/180$ che si trascina in ogni formula. Tutta l’analisi che tocca seno e coseno funziona pulita solo in radianti, ed è per questo che dalle funzioni goniometriche in poi i gradi spariscono quasi del tutto.