Il piano cartesiano — filoconduttore

Il piano cartesiano è il ponte fra algebra e geometria: permette di disegnare le equazioni e, al contrario, di scrivere equazioni per le figure. Due rette perpendicolari bastano a identificare qualsiasi punto del piano.

Assi, origine, quadranti

Piano cartesiano con i quattro quadranti, i segni delle coordinate e il punto P(3,2)

l’asse orizzontale è quello delle ascisse ( $x$ );
l’asse verticale è quello delle ordinate ( $y$ );
il punto d’incontro è l’origine $O(0,\,0)$ .

I due assi dividono il piano in quattro quadranti, numerati in senso antiorario a partire da quello in alto a destra. Ciascuno ha una combinazione di segni:

quadrante	$x$	$y$
I	$+$	$+$
II	$-$	$+$
III	$-$	$-$
IV	$+$	$-$

Conoscere i segni serve più di quanto sembri: se risolvi un problema e ottieni un punto con $x < 0$ e $y > 0$ , sai già che deve stare nel secondo quadrante — e se il disegno dice altro, c’è un errore.

Una coppia ordinata

Un punto del piano è individuato univocamente da una coppia di numeri, scritti sempre nello stesso ordine: prima l’ascissa, poi l’ordinata.

P(x_P,\; y_P)

L’ordine conta. La coppia $(5,\,2)$ e la coppia $(2,\,5)$ individuano due punti diversi:

P(5,\,2) \;\ne\; P_1(2,\,5)

Il primo sta cinque passi a destra e due in su, il secondo due a destra e cinque in su. Si chiama coppia ordinata proprio per questo: scambiare i numeri non è una svista di scrittura, è cambiare punto.

Disegnare una retta per punti

Un’equazione di primo grado in due incognite, come $y = 3x - 2$ , rappresenta una retta. Per disegnarla bastano due punti, perché per due punti passa una retta sola.

Il procedimento:

Scegli valori di $x$ , meglio se piccoli e comodi: $0$ , $1$ , $2$ .
Sostituisci ciascuno nell’equazione della retta.
Ricava la $y$ corrispondente, e ottieni le coordinate del punto.

Con $y = 3x - 2$ :

$x$	conto	$y$	punto
$0$	$3(0) - 2$	$-2$	$(0,\,-2)$
$1$	$3(1) - 2$	$1$	$(1,\,1)$

Segni i due punti sul piano, tiri la riga, ed è fatta.

Conviene sempre calcolare un terzo punto anche se non serve: se i tre non sono allineati, hai sbagliato un conto. È un controllo che costa dieci secondi e trova l’errore prima che finisca sul disegno.

Con $x = 2$ : $y = 3(2) - 2 = 4$ , punto $(2,\,4)$ . Da $(0,-2)$ a $(1,1)$ a $(2,4)$ la $y$ sale sempre di 3: allineati ✓

Esercizio.

In quale quadrante si trovano i punti $A(-3,\,5)$ , $B(2,\,-1)$ , $C(-4,\,-2)$ ?
Disegna per punti la retta $y = -2x + 4$ , usando $x = 0, 1, 2$ .
Il punto $P(3,\,-2)$ appartiene alla retta $y = -2x + 4$ ?

Mostra la soluzione

1. Guardo la combinazione dei segni:

$A(-3, 5)$ : $x<0$ , $y>0$ → secondo quadrante;
$B(2, -1)$ : $x>0$ , $y<0$ → quarto quadrante;
$C(-4, -2)$ : entrambi negativi → terzo quadrante.

2. Sostituisco i tre valori:

$x$	conto	$y$	punto
$0$	$-2(0)+4$	$4$	$(0,\,4)$
$1$	$-2(1)+4$	$2$	$(1,\,2)$
$2$	$-2(2)+4$	$0$	$(2,\,0)$

La $y$ cala di 2 a ogni passo, coerente col coefficiente negativo: la retta scende da sinistra verso destra.

3. Un punto appartiene a una retta se le sue coordinate verificano l’equazione. Sostituisco $x = 3$ :

y = -2(3) + 4 = -2

Il punto ha proprio $y = -2$ : sì, appartiene alla retta.

Verifica. Nel punto 2, controlla che i tre punti siano allineati guardando come varia la $y$ a passi costanti di $x$ : qui $4 \to 2 \to 0$ , sempre $-2$ . Se un salto fosse diverso, il conto sbagliato è quello.