Equazioni fratte — filoconduttore

Un’equazione è fratta quando l’incognita compare al denominatore. Non basta che ci sia una frazione da qualche parte: conta dove sta la $x$ .

\underbrace{\frac{x-2}{12} = 0}_{\text{NON fratta}} \qquad\qquad \underbrace{\frac{3x}{x-2} = 0}_{\text{fratta}}

A sinistra il denominatore è un numero, e un numero non si annulla mai: quella è una normale equazione di primo grado con una frazione dentro. A destra il denominatore contiene la $x$ , e per certi valori potrebbe valere zero — che è il problema.

Perché servono le condizioni di esistenza

Le soluzioni di un’equazione devono appartenere al suo dominio, cioè all’insieme dei valori per cui l’espressione esiste.

Per un polinomio il dominio è tutto $\mathbb{R}$ : $3x^2 - 5x + 1$ ha senso per qualunque $x$ . Ma appena c’è un denominatore con l’incognita bisogna assicurarsi che non si annulli, perché non si può dividere per zero.

\text{C.E.:}\quad \text{denominatore} \ne 0

Nell’esempio $\dfrac{3x}{x-2}$ la condizione è $x - 2 \ne 0$ , cioè $x \ne 2$ .

Le C.E. si scrivono all’inizio, prima di risolvere — non alla fine per controllare. Sono parte del problema, non una verifica opzionale: definiscono il terreno su cui l’equazione ha senso.

Il procedimento

Scomponi i denominatori (spesso è l’unico modo per vedere quando si annullano).
Imponi le C.E.: ogni denominatore $\ne 0$ .
Denominatore comune e via i denominatori.
Risolvi l’equazione che resta.
Confronta le soluzioni con le C.E.: quelle escluse si scartano.

Esempio:

\frac{4}{2x+1} = 1 - \frac{1+x}{x-1}

C.E.: $2x + 1 \ne 0$ e $x - 1 \ne 0$ , cioè $x \ne -\dfrac12$ e $x \ne 1$ .

Denominatore comune $(2x+1)(x-1)$ , e riducendo tutto a un’unica frazione uguale a zero si arriva a $8x = -2$ , quindi $x = -\dfrac14$ .

Il valore $-\frac14$ è diverso da $-\frac12$ e da 1: accettabile.

La scorciatoia della proporzione

Quando l’equazione ha la forma “una frazione uguale a un’altra frazione”, si può moltiplicare in croce:

\frac{A}{B} = \frac{C}{D} \qquad\Longrightarrow\qquad A \cdot D = C \cdot B

Vale sempre — purché $B$ e $D$ siano diversi da zero, che è di nuovo la C.E. La scorciatoia non ti dispensa dal porla.

Il caso che manda in crisi: si risolve tutto correttamente e la soluzione trovata è proprio un valore escluso dalle C.E.

\frac{x}{x-3} = \frac{3}{x-3} \qquad\text{C.E.: } x \ne 3

Togliendo i denominatori si ottiene $x = 3$ , che le C.E. vietano. Non è un errore di conto: la soluzione va scartata e l’equazione è impossibile, $S = \varnothing$ .

Se non avessi imposto le C.E. all’inizio, avresti scritto $x = 3$ come risposta — e sarebbe sbagliata, perché per $x=3$ l’equazione di partenza non esiste nemmeno.

Esercizio. Risolvi, ponendo sempre le condizioni di esistenza:

$\dfrac{2}{x} = \dfrac{1}{3}$
$\dfrac{x+1}{x-2} = 2$
$\dfrac{5}{x-1} = \dfrac{5}{x-1} + x$
$\dfrac{4}{x-2} = \dfrac{2x}{x-2}$

Mostra la soluzione

1. C.E.: $x \ne 0$ . Moltiplico in croce:

2 \cdot 3 = x \quad\Longrightarrow\quad x = 6

Accettabile ( $6 \ne 0$ ).

2. C.E.: $x \ne 2$ . Moltiplico entrambi i membri per $x-2$ :

x + 1 = 2(x-2) \quad\Longrightarrow\quad x + 1 = 2x - 4 \quad\Longrightarrow\quad x = 5

Accettabile.

3. C.E.: $x \ne 1$ . I due termini uguali si semplificano:

0 = x \quad\Longrightarrow\quad x = 0

Accettabile ( $0 \ne 1$ ).

4. C.E.: $x \ne 2$ . Stesso denominatore, quindi uguaglio i numeratori:

4 = 2x \quad\Longrightarrow\quad x = 2

Ma $x = 2$ è escluso dalle C.E.: si scarta. $\;S = \varnothing$ .

Verifica. Sostituisci sempre nell’equazione di partenza. Nel punto 2, con $x = 5$ : $\dfrac{6}{3} = 2$ ✓. Nel punto 4, con $x = 2$ ti ritroveresti $\dfrac{4}{0}$ : la sostituzione stessa mostra perché va scartata.