filoconduttore

Divisione fra polinomi

Superiori β€” biennioAggiornata: 11 agosto 2026

Prerequisiti: Monomi e polinomi

Somma, sottrazione e prodotto fra polinomi si fanno β€œa vista”. La divisione no: ha un algoritmo, lo stesso della divisione in colonna fra numeri, e serve in tre punti diversi del programma β€” semplificare frazioni algebriche, scomporre un polinomio trovandogli un fattore, e piΓΉ avanti sciogliere gli integrali di funzioni razionali.

Primo caso: dividere per un monomio

(4a3b2βˆ’12a2b3+8a2b2c):(4a2b2)\big(4a^3b^2 - 12a^2b^3 + 8a^2b^2c\big) : \big(4a^2b^2\big)

Qui non serve nessun algoritmo: si divide ogni termine per il monomio, uno alla volta. PerchΓ© il risultato sia ancora un polinomio serve che il monomio divida davvero ciascun termine β€” se in (6x3βˆ’9x2+5x):(3x2)(6x^3 - 9x^2 + 5x) : (3x^2) si arriva a 2xβˆ’3+53x2x - 3 + \frac{5}{3x}, quel terzo pezzo non Γ¨ un polinomio: Γ¨ il resto della divisione, scritto in forma di frazione.

4a3b24a2b2βˆ’12a2b34a2b2+8a2b2c4a2b2=aβˆ’3b+2c\frac{4a^3b^2}{4a^2b^2} - \frac{12a^2b^3}{4a^2b^2} + \frac{8a^2b^2c}{4a^2b^2} = a - 3b + 2c

Si divide ogni termine, non solo il primo.

6x3βˆ’9x23x2=2xβˆ’3⏟correttoβ‰ 6x3βˆ’9x23x2=2xβˆ’9x2⏟sbagliato\underbrace{\frac{6x^3 - 9x^2}{3x^2} = 2x - 3}_{\text{corretto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{\frac{6x^3 - 9x^2}{3x^2} = 2x - 9x^2}_{\text{sbagliato}}

La frazione ha una sola linea, ma il denominatore agisce su tutti gli addendi del numeratore. È lo stesso errore di a+bcβ‰ a+bc\frac{a+b}{c} \neq a + \frac{b}{c}, in versione letterale.

Secondo caso: dividere per un polinomio

Quando il divisore ha piΓΉ termini, si fa la divisione in colonna, esattamente come fra numeri: si guarda il termine di grado piΓΉ alto, si trova per cosa moltiplicarlo, si sottrae, si abbassa il resto e si ricomincia.

(x4βˆ’2x2):(x2+1)\big(x^4 - 2x^2\big) : \big(x^2 + 1\big)

Passo 1. x4:x2=x2x^4 : x^2 = x^2. Si moltiplica: x2(x2+1)=x4+x2x^2(x^2+1) = x^4 + x^2, e si sottrae:

(x4βˆ’2x2)βˆ’(x4+x2)=βˆ’3x2(x^4 - 2x^2) - (x^4 + x^2) = -3x^2

Passo 2. βˆ’3x2:x2=βˆ’3-3x^2 : x^2 = -3. Si moltiplica: βˆ’3(x2+1)=βˆ’3x2βˆ’3-3(x^2+1) = -3x^2 - 3, e si sottrae:

(βˆ’3x2)βˆ’(βˆ’3x2βˆ’3)=3(-3x^2) - (-3x^2 - 3) = 3

Il grado di 33 Γ¨ minore del grado di x2+1x^2+1: si Γ¨ finito.

Q(x)=x2βˆ’3R(x)=3Q(x) = x^2 - 3 \qquad R(x) = 3

La regola

N(x)=D(x)β‹…Q(x)+R(x)conR(x)=0β€…β€ŠΒ oppureΒ β€…β€Šdeg⁑R<deg⁑DN(x) = D(x)\cdot Q(x) + R(x) \qquad\text{con}\qquad R(x) = 0 \;\text{ oppure }\; \deg R < \deg D

Vale identica alla divisione fra numeri (17=5β‹…3+217 = 5\cdot 3 + 2), ed Γ¨ anche la verifica: si rimoltiplica e si deve ritrovare il dividendo.

(x2+1)(x2βˆ’3)+3=x4βˆ’3x2+x2βˆ’3+3=x4βˆ’2x2β€…β€Šβœ“(x^2+1)(x^2-3) + 3 = x^4 - 3x^2 + x^2 - 3 + 3 = x^4 - 2x^2 \;βœ“

Il resto o Γ¨ nullo, oppure ha grado minore del divisore β€” non β€œgrado zero”. Dividendo per un polinomio di secondo grado il resto puΓ² benissimo essere di primo grado, tipo 2x+52x+5: non Γ¨ un errore, Γ¨ la condizione di arresto. Si smette quando non si puΓ² piΓΉ abbassare il grado, non quando si ottiene un numero.

Ruffini: la scorciatoia per i divisori (xβˆ’a)(x-a)

Quando il divisore Γ¨ di primo grado e monico, cioΓ¨ della forma xβˆ’ax - a, la divisione lunga si riduce a una riga di conti sui soli coefficienti.

(x3βˆ’2x2βˆ’5x+6):(xβˆ’1)\big(x^3 - 2x^2 - 5x + 6\big) : (x - 1)

Si incolonnano i coefficienti del dividendo β€” 1,β€…β€Šβˆ’2,β€…β€Šβˆ’5,β€…β€Š61,\; -2,\; -5,\; 6 β€” e si scrive a=1a = 1 a sinistra. Si abbassa il primo coefficiente; poi ogni volta si moltiplica per aa e si somma al coefficiente successivo:

1βˆ’2+1=βˆ’1βˆ’5+(βˆ’1)=βˆ’66+(βˆ’6)=01 \qquad -2 + 1 = -1 \qquad -5 + (-1) = -6 \qquad 6 + (-6) = 0 Q(x)=x2βˆ’xβˆ’6R=0Q(x) = x^2 - x - 6 \qquad R = 0

Con il divisore (x+1)(x+1) il numero a sinistra Γ¨ βˆ’1-1, non +1+1. La forma di Ruffini Γ¨ xβˆ’ax - a, quindi il segno va letto al contrario:

x+1=xβˆ’(βˆ’1)β€…β€ŠβŸΉβ€…β€Ša=βˆ’1⏟correttoβ‰ x+1β€…β€ŠβŸΉβ€…β€Ša=+1⏟sbagliato:Β tuttiΒ iΒ contiΒ girati\underbrace{x + 1 = x - (-1) \;\Longrightarrow\; a = -1}_{\text{corretto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{x + 1 \;\Longrightarrow\; a = +1}_{\text{sbagliato: tutti i conti girati}}

E il segno se lo porta dietro anche il teorema del resto, qui sotto: dividendo per (x+1)(x+1) si calcola P(βˆ’1)P(-1), non P(1)P(1).

I termini mancanti vanno scritti con il coefficiente zero.

In 2x3βˆ’3x2+42x^3 - 3x^2 + 4 il termine di primo grado non c’è, quindi i coefficienti da incolonnare sono 2,β€…β€Šβˆ’3,β€…β€Š0,β€…β€Š42,\; -3,\; \mathbf{0},\; 4 β€” quattro, uno per ogni grado da 3 a 0. Chi ne incolonna tre sposta tutto di una posizione e ottiene un risultato che non c’entra niente.

Vale anche per la divisione in colonna: conviene riscrivere il dividendo ordinato e completo prima di cominciare.

Il teorema del resto

Il resto della divisione per (xβˆ’a)(x-a) si puΓ² conoscere senza fare la divisione:

R=P(a)R = P(a)

Nell’esempio: P(1)=1βˆ’2βˆ’5+6=0P(1) = 1 - 2 - 5 + 6 = 0, e infatti il resto era zero.

Resto zero significa che (xβˆ’a)(x-a) Γ¨ un fattore. È il ponte con la scomposizione: quando il polinomio ha coefficienti interi e il termine di grado massimo ha coefficiente 11, le eventuali radici intere si cercano fra i divisori del termine noto; si verifica che P(a)=0P(a) = 0, e Ruffini consegna l’altro fattore giΓ  pronto.

Nell’esempio: x3βˆ’2x2βˆ’5x+6=(xβˆ’1)(x2βˆ’xβˆ’6)x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x-1)(x^2-x-6).

Il secondo fattore si spezza ancora, cercando due numeri che sommati diano βˆ’1-1 e moltiplicati diano βˆ’6-6: sono βˆ’3-3 e +2+2. Quindi

x3βˆ’2x2βˆ’5x+6=(xβˆ’1)(xβˆ’3)(x+2)x^3-2x^2-5x+6 = (x-1)(x-3)(x+2)

Esercizio.

  1. (6x3y2βˆ’9x2y3+3x2y2):(3x2y2)\big(6x^3y^2 - 9x^2y^3 + 3x^2y^2\big) : \big(3x^2y^2\big)
  2. (x3+2x2βˆ’5xβˆ’6):(x+1)\big(x^3 + 2x^2 - 5x - 6\big) : (x+1), e poi scomponi completamente il dividendo.
  3. (2x3βˆ’3x2+4):(xβˆ’2)\big(2x^3 - 3x^2 + 4\big) : (x-2)
  4. (x4βˆ’1):(x2+1)\big(x^4 - 1\big) : \big(x^2+1\big)
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1. Termine per termine:

6x3y23x2y2βˆ’9x2y33x2y2+3x2y23x2y2=2xβˆ’3y+1\frac{6x^3y^2}{3x^2y^2} - \frac{9x^2y^3}{3x^2y^2} + \frac{3x^2y^2}{3x^2y^2} = 2x - 3y + 1

Il terzo termine dΓ  11, non 00: un termine uguale al divisore si semplifica a uno.

2. Divisore (x+1)(x+1), quindi a=βˆ’1a = -1. Coefficienti: 1,β€…β€Š2,β€…β€Šβˆ’5,β€…β€Šβˆ’61,\;2,\;-5,\;-6.

12+(βˆ’1)=1βˆ’5+(βˆ’1)=βˆ’6βˆ’6+6=01 \qquad 2 + (-1) = 1 \qquad -5 + (-1) = -6 \qquad -6 + 6 = 0 Q(x)=x2+xβˆ’6R=0Q(x) = x^2 + x - 6 \qquad R = 0

Resto nullo, quindi (x+1)(x+1) Γ¨ un fattore. Il quoziente si spezza cercando due numeri di somma +1+1 e prodotto βˆ’6-6: sono +3+3 e βˆ’2-2.

x3+2x2βˆ’5xβˆ’6=(x+1)(x2+xβˆ’6)=(x+1)(x+3)(xβˆ’2)x^3+2x^2-5x-6 = (x+1)(x^2+x-6) = (x+1)(x+3)(x-2)

3. Manca il termine di primo grado: i coefficienti sono 2,β€…β€Šβˆ’3,β€…β€Š0,β€…β€Š42,\;-3,\;\mathbf{0},\;4, con a=2a=2.

2βˆ’3+4=10+2=24+4=82 \qquad -3 + 4 = 1 \qquad 0 + 2 = 2 \qquad 4 + 4 = 8 Q(x)=2x2+x+2R=8Q(x) = 2x^2 + x + 2 \qquad R = 8

4. Divisione in colonna: x4:x2=x2x^4 : x^2 = x^2, e x2(x2+1)=x4+x2x^2(x^2+1) = x^4+x^2; sottraendo resta βˆ’x2βˆ’1-x^2-1. Poi βˆ’x2:x2=βˆ’1-x^2 : x^2 = -1, e βˆ’1(x2+1)=βˆ’x2βˆ’1-1(x^2+1) = -x^2-1: si azzera.

Q(x)=x2βˆ’1R=0Q(x) = x^2 - 1 \qquad R = 0

Verifica. Il punto 3 si controlla col teorema del resto senza rifare niente: P(2)=2β‹…8βˆ’3β‹…4+4=16βˆ’12+4=8P(2) = 2\cdot 8 - 3\cdot 4 + 4 = 16 - 12 + 4 = 8, uguale al resto trovato βœ“. E il punto 4 si controlla a memoria: x4βˆ’1=(x2βˆ’1)(x2+1)x^4-1 = (x^2-1)(x^2+1) Γ¨ una differenza di quadrati, quindi il quoziente doveva essere proprio x2βˆ’1x^2-1 con resto nullo.