I prodotti notevoli

Alcuni prodotti tornano così spesso che conviene saperne il risultato senza fare il conto. Non è una scorciatoia per pigrizia: sono gli stessi schemi che poi servono a leggere al contrario, per scomporre.

Il quadrato di binomio

$$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

Viene dallo svolgere il prodotto, e vale la pena farlo una volta per non doverlo credere:

$$(a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + b^2 + 2ab$$

I due termini centrali sono uguali, e da lì il doppio prodotto $2ab$.

Con il segno meno cambia solo il doppio prodotto:

$$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab$$

Da qui segue una proprietà che serve continuamente nelle disequazioni: un quadrato di binomio è sempre $\ge 0$, e vale zero solo quando l’argomento è zero.

$$(x - 3)^2 \ge 0 \;\; \text{per ogni } x, \qquad (x-3)^2 = 0 \iff x = 3$$

Somma per differenza

$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$

Anche qui il motivo si vede svolgendo: i due termini misti si elidono.

$$(a+b)(a-b) = a^2 \underbrace{- \,ab + ba}_{\text{si annullano}} - \,b^2 = a^2 - b^2$$

È l’identità più utile di tutte, perché letta da destra a sinistra è la scomposizione della differenza di quadrati — quella che usi per fattorizzare.

Il cubo di binomio

$$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$

Con il meno i segni si alternano, partendo dal $+$. Compare meno spesso degli altri due, ma quando serve conviene averlo a mente invece di svolgere $(a+b)(a+b)(a+b)$.