Disequazioni di secondo grado

Un’equazione di secondo grado chiede dove una parabola tocca l’asse $x$ . Una disequazione chiede qualcosa di diverso: dove la parabola sta sopra o sotto l’asse. Cambia la domanda, e cambia la risposta: non due numeri, ma un intervallo.

Il metodo, in tre mosse

Data una disequazione come $ax^2 + bx + c > 0$ :

Porta tutto a sinistra e assicurati che $a > 0$ . Se il coefficiente di $x^2$ è negativo, moltiplica per $-1$ e cambia il verso.
Trova le radici dell’equazione associata $ax^2 + bx + c = 0$ .
Guarda la parabola: con $a > 0$ è rivolta verso l’alto, quindi è positiva fuori dalle radici e negativa fra le radici.

Il passaggio 1 è dove si perde metà classe. Moltiplicare per un numero negativo rovescia il verso della disuguaglianza:

\underbrace{-x^2 + 2x \le 0}_{a \,=\, -1} \qquad\Longrightarrow\qquad \underbrace{x^2 - 2x \ge 0}_{a \,=\, +1,\ \text{verso girato}}

Non è una convenzione: se $-3 < 2$ , moltiplicando per $-1$ ottieni $3 > -2$ . L’ordine si inverte davvero.

I tre casi del discriminante

Tutto dipende da quante volte la parabola incontra l’asse:

Tre parabole con la concavità verso l'alto: con due radici, con una radice doppia, senza radici

Con $a > 0$ e radici $x_1 < x_2$ :

disequazione	soluzione ( $\Delta > 0$ )
$ax^2+bx+c > 0$	$x < x_1 \;\lor\; x > x_2$ — esterno
$ax^2+bx+c < 0$	$x_1 < x < x_2$ — interno

Con la parabola verso l’alto ( $a > 0$ ): “maggiore” vuol dire fuori, “minore” vuol dire dentro. Non serve ricordare altro — e se hai il dubbio, disegna la parabola: due secondi di schizzo battono qualsiasi regola mnemonica.

I casi degeneri

Sono quelli che mandano in crisi, perché la soluzione non è un intervallo ma tutto o niente. Succede quando $\Delta \le 0$ : la parabola non attraversa l’asse, quindi ha sempre lo stesso segno.

Con $a > 0$ e $\Delta < 0$ la parabola sta tutta sopra l’asse:

3x^2 + 4 > 0 \;\longrightarrow\; \text{vera per ogni } x, \quad S = \mathbb{R}

2x^2 + 13 < 0 \;\longrightarrow\; \text{mai vera}, \quad S = \varnothing

Con $\Delta = 0$ la parabola tocca l’asse in un punto solo, e lì vale zero:

(x+2)^2 \le 0 \;\longrightarrow\; \text{vera solo dove vale } 0 \;\longrightarrow\; x + 2 = 0 \;\longrightarrow\; x = -2

Attenzione a $\Delta = 0$ con il verso stretto:

\underbrace{(x+2)^2 \le 0 \;\Rightarrow\; x = -2}_{\text{un solo punto}} \qquad\neq\qquad \underbrace{(x+2)^2 < 0 \;\Rightarrow\; S = \varnothing}_{\text{nessuna soluzione}}

Un quadrato non è mai negativo: può al massimo essere uguale a zero. Il $=$ nel simbolo $\le$ è tutta la differenza fra una soluzione e nessuna.

Esercizio. Risolvi:

$x^2 - 5x < 0$
$-9x^2 - 4 \le 0$
$x^2 - 6x + 9 > 0$
$2x - x^2 \le 0$

Mostra la soluzione

1. $a > 0$ , niente da girare. Raccolgo invece di usare la formula:

x(x - 5) = 0 \;\Rightarrow\; x_1 = 0,\; x_2 = 5

Il verso è $<$ , quindi soluzione interna: $\;0 < x < 5$ .

2. Il coefficiente di $x^2$ è negativo: moltiplico per $-1$ e giro il verso.

-9x^2 - 4 \le 0 \;\Longrightarrow\; 9x^2 + 4 \ge 0

Ora $\Delta = 0 - 4 \cdot 9 \cdot 4 < 0$ e $a > 0$ : la parabola sta tutta sopra l’asse, quindi è sempre $\ge 0$ . $\;S = \mathbb{R}$ .

3. $\Delta = 36 - 36 = 0$ : radice doppia in $x = 3$ . Infatti è un quadrato:

x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2 > 0

Un quadrato è positivo ovunque tranne dove si annulla: $\;S = \mathbb{R} - \{3\}$ , cioè $x \ne 3$ .

4. Porto tutto a sinistra col segno giusto:

2x - x^2 \le 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 2x \ge 0 \;\Longrightarrow\; x(x-2) \ge 0

Radici $0$ e $2$ , verso $\ge$ : soluzione esterna, estremi inclusi. $\;x \le 0 \;\lor\; x \ge 2$ .

Verifica. Prendi un valore a caso dentro l’intervallo che hai trovato e sostituiscilo nella disequazione di partenza. Nel punto 4, con $x = 3$ : $\;2(3) - 9 = -3 \le 0$ ✓. È il controllo più veloce, e smaschera subito un verso girato per sbaglio.