Funzioni: dominio, zeri e segno

Una funzione è una regola che a ogni valore di $x$ associa uno e un solo valore di $y$ . Quel “uno solo” è tutta la definizione: se un valore di $x$ producesse due $y$ , non sarebbe una funzione.

y = f(x)

Prima di studiare qualsiasi cosa di una funzione bisogna rispondere a una domanda: dove esiste?

Il dominio

Il dominio è l’insieme dei valori di $x$ per cui la funzione ha senso. Per un polinomio è tutto $\mathbb{R}$ — un polinomio si calcola sempre. I problemi nascono in tre casi, e sono sempre quei tre:

se la funzione contiene…	condizione da imporre
una frazione con la $x$ al denominatore	denominatore $\ne 0$
una radice di indice pari	radicando $\ge 0$
un logaritmo	argomento $> 0$

Quando ce n’è più di uno, le condizioni si mettono a sistema: devono valere tutte insieme.

f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{x-3} \qquad \begin{cases} x - 1 \ge 0 \\ x - 3 \ne 0 \end{cases} \qquad\Longrightarrow\qquad D = \{\,x \ge 1 \;\wedge\; x \ne 3\,\}

Il dominio non è un preliminare burocratico: è il terreno su cui vale tutto il resto. Uno zero o un asintoto trovato fuori dal dominio non esiste, e continuare a studiare una funzione senza sapere dove vive porta a risposte che sembrano giuste e non lo sono.

Regola pratica: il dominio si scrive per primo, sempre, prima di toccare qualunque altra cosa.

Zeri e segno

Gli zeri sono i punti in cui il grafico taglia l’asse $x$ : si trovano risolvendo

f(x) = 0

Il segno dice dove il grafico sta sopra o sotto l’asse: si trova risolvendo la disequazione

f(x) > 0

Per una funzione fratta è esattamente il grafico dei segni già visto: si studiano separatamente numeratore e denominatore e si combinano.

Uno zero deve appartenere al dominio, altrimenti non è uno zero.

f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}

Annullando il numeratore verrebbero $x = 3$ e $x = -3$ . Ma $x = 3$ è escluso dal dominio: lì la funzione non esiste, quindi l’unico zero è $x = -3$ .

È il caso che la semplificazione fa sparire: $\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3$ è vera solo per $x \ne 3$ , e in $x = 3$ resta un buco nel grafico.

Intersezioni con gli assi

con l’asse $y$ : si pone $x = 0$ e si calcola $f(0)$ — se $0$ è nel dominio, altrimenti non c’è intersezione;
con l’asse $x$ : sono gli zeri.

Pari o dispari

Un controllo che a volte dimezza il lavoro:

f(-x) = f(x) \;\Rightarrow\; \textbf{pari} \text{ (simmetrica rispetto all'asse } y)

f(-x) = -f(x) \;\Rightarrow\; \textbf{dispari} \text{ (simmetrica rispetto all'origine)}

Se scopri che la funzione è pari o dispari, studi metà grafico e l’altra metà la ottieni per simmetria.

Esercizio. Data $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x + 1}$ :

Determina il dominio.
Trova gli zeri.
Studia il segno.
Trova l’intersezione con l’asse $y$ .

Mostra la soluzione

Punto 1. C’è una frazione con la $x$ al denominatore:

x + 1 \ne 0 \quad\Longrightarrow\quad D = \{\,x \ne -1\,\}

Punto 2. Annullo il numeratore (differenza di quadrati):

x^2 - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm 2

Entrambi appartengono al dominio ✓ quindi gli zeri sono $x = -2$ e $x = 2$ .

Punto 3. Grafico dei segni. Numeratore positivo per $x < -2 \lor x > 2$ ; denominatore positivo per $x > -1$ .

zona	$N$	$D$	$f(x)$
$x < -2$	$+$	$-$	$-$
$-2 < x < -1$	$-$	$-$	$+$
$-1 < x < 2$	$-$	$+$	$-$
$x > 2$	$+$	$+$	$+$

Quindi $f(x) > 0$ per $-2 < x < -1 \;\lor\; x > 2$ .

Punto 4. $x = 0$ appartiene al dominio, quindi:

f(0) = \frac{-4}{1} = -4 \qquad\Longrightarrow\qquad (0,\,-4)

Verifica. Il risultato del punto 4 deve essere coerente col segno: $x = 0$ sta nella zona $-1 < x < 2$ , dove il segno è negativo — e infatti $f(0) = -4 < 0$ ✓. Segno e valori calcolati devono sempre confermarsi a vicenda.