Carica e scarica del condensatore

Finché in un circuito ci sono solo resistenze, chiudere un interruttore cambia tutto istantaneamente. Con un condensatore no: la tensione ci mette un tempo a salire, e quel tempo è calcolabile. È il primo circuito in cui il tempo entra nei conti.

Il legame corrente–tensione

Tutto il comportamento del condensatore sta in una relazione:

i_C = C\,\frac{dV}{dt}

o, se preferisci ragionare a variazioni finite, $i_C = C\,\dfrac{\Delta V}{\Delta t}$ .

Letta a parole: la corrente non dipende dalla tensione, ma da quanto in fretta la tensione cambia. Un condensatore con una tensione enorme ma ferma non fa passare corrente; uno con una tensione piccola che varia velocemente sì.

Da qui segue subito il comportamento in continua, un passo alla volta:

il potenziale è costante nel tempo
quindi $\dfrac{dV}{dt} = 0$ — attenzione: non è la tensione a essere nulla, è la sua variazione
quindi $i_C = 0$
quindi in regime continuo il condensatore si comporta come un circuito aperto

Confronto: un segnale continuo viene bloccato dal condensatore, un segnale alternato lo attraversa

Il condensatore è un filtro per le correnti continue: le blocca e lascia passare le variazioni. È il motivo per cui lo trovi ovunque serva separare un segnale dalla sua componente continua.

Il circuito RC e la costante di tempo

Il caso canonico: un generatore $E$ , una resistenza $R$ e un condensatore $C$ in serie, con un interruttore che si chiude a $t = 0$ e il condensatore inizialmente scarico.

Circuito RC serie con interruttore che chiude a t=0, e curva di carica esponenziale della tensione sul condensatore

La tensione sul condensatore durante la carica vale:

v_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right) \qquad\text{con}\qquad \tau = R\,C

e durante la scarica (generatore escluso, condensatore inizialmente carico a $V_0$ ):

v_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}

La quantità $\tau = RC$ è la costante di tempo: si misura in secondi ed è l’unica cosa che decide quanto dura il transitorio. Vale la pena verificarne le unità: $[\Omega]\cdot[\text{F}] = \text{s}$ .

Numeri da tenere a mente, che valgono per qualsiasi RC:

tempo trascorso	carica completata
$t = \tau$	63%
$t = 3\tau$	95%
$t = 5\tau$	99% — si considera finito

Le due formule si confondono di continuo. Distinguile dal valore di partenza, non dal segno:

\underbrace{v_C(t) = E\left(1 - e^{-t/\tau}\right)}_{\text{carica: parte da } 0 \text{, sale verso } E} \qquad\neq\qquad \underbrace{v_C(t) = V_0\,e^{-t/\tau}}_{\text{scarica: parte da } V_0 \text{, scende a } 0}

Controllo in due secondi: sostituisci $t = 0$ e guarda se viene fuori il valore iniziale giusto.

I due istanti che risolvono l’esercizio

Quasi tutti gli esercizi si risolvono senza toccare l’esponenziale, guardando solo i due estremi:

$t = 0^+$ (subito dopo la commutazione): la tensione sul condensatore non può saltare, quindi vale quanto valeva un istante prima. Se era scarico, $v_C = 0$ e il condensatore si comporta come un cortocircuito.
$t \to \infty$ (regime): non c’è più variazione, quindi $i_C = 0$ e il condensatore è un circuito aperto.

Sostituisci il condensatore con un cortocircuito a $t = 0^+$ e con un circuito aperto a regime: restano due reti puramente resistive, che sai già risolvere. L’esponenziale serve solo se ti chiedono un valore durante il transitorio.

Esercizio. Nel circuito RC in figura: $E = 10\ \text{V}$ , $R = 10\ \text{k}\Omega$ , $C = 4{,}7\ \mu\text{F}$ . Il condensatore è inizialmente scarico e l’interruttore chiude a $t=0$ .

Calcola la costante di tempo $\tau$ .
Calcola $v_C$ subito dopo la chiusura e a regime.
Calcola $v_C$ dopo 100 ms.
Dopo quanto tempo il transitorio si può considerare finito?

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Punto 1. Costante di tempo:

\tau = R\,C = 10 \cdot 10^{3} \cdot 4{,}7 \cdot 10^{-6} = 47 \cdot 10^{-3} = 47\ \text{ms}

Punto 2. I due estremi, senza esponenziali. A $t = 0^+$ il condensatore era scarico e la tensione non può saltare: $v_C(0^+) = 0$ (si comporta da cortocircuito). A regime non c’è più variazione, quindi $i_C = 0$ : nessuna caduta su $R$ , e tutta la tensione del generatore finisce sul condensatore, $v_C(\infty) = E = 10\ \text{V}$ .

Punto 3. Qui serve la formula di carica, con $t = 100$ ms e $\tau = 47$ ms:

v_C(100\ \text{ms}) = 10\left(1 - e^{-100/47}\right) = 10\left(1 - e^{-2{,}13}\right) \approx 10\,(1 - 0{,}119) \approx 8{,}8\ \text{V}

Ha senso: 100 ms sono poco più di due costanti di tempo, e a $2\tau$ la carica è all’86% circa.

Punto 4. Con la regola dei cinque $\tau$ :

t_{\text{fine}} \approx 5\tau = 5 \cdot 47 = 235\ \text{ms}

Verifica. Nota che il risultato del punto 3 sta tra i due estremi del punto 2 ( $0 < 8{,}8 < 10$ ) e più vicino al valore finale che a quello iniziale, com’è giusto dopo due costanti di tempo. Se ti fosse venuto un valore fuori da quell’intervallo, l’errore sarebbe nell’esponente.