Le grandezze sinusoidali — filoconduttore

Finora la tensione era un numero fermo. In regime alternato cambia istante per istante, seguendo una sinusoide — ed è la forma con cui l’energia arriva nelle case. Prima di poter risolvere un circuito bisogna saper descrivere il segnale.

e(t) = V_p\,\sin(\omega t + \varphi)

Tre numeri, e ognuno dice una cosa diversa:

$V_p$ è l’ampiezza, cioè il valore massimo raggiunto (valore di picco);
$\omega$ è la pulsazione, in rad/s: dice quanto in fretta oscilla;
$\varphi$ è la fase iniziale: dice a che punto dell’oscillazione siamo a $t = 0$ .

Periodo, frequenza, pulsazione

Sinusoide con indicati il valore di picco, il valore picco-picco e il periodo

Il periodo $T$ è il tempo di un’oscillazione completa [s]. La frequenza $f$ è quante ne avvengono in un secondo [Hz], quindi è il suo reciproco:

f = \frac{1}{T} \qquad\qquad \omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}

La rete elettrica italiana è a $f = 50$ Hz, quindi $T = 20$ ms e $\omega = 2\pi \cdot 50 \approx 314$ rad/s.

Frequenza e pulsazione non sono la stessa cosa, anche se si somigliano: $f$ si misura in hertz (giri al secondo), $\omega$ in radianti al secondo, e fra le due c’è un fattore $2\pi$ .

Nelle formule delle reattanze compare sempre $\omega$ , mai $f$ : se il testo ti dà 50 Hz e tu li infili al posto di $\omega$ , sbagli di un fattore 6,28.

Picco, picco-picco, efficace

Della stessa sinusoide si danno tre valori diversi, ed è la fonte di equivoci più comune:

valore	simbolo	quanto vale
di picco	$V_p$	il massimo
picco-picco	$V_{pp}$	$2\,V_p$
efficace	$V_{eff}$	$\dfrac{V_p}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\,V_p$

Il valore efficace è quello che conta in pratica: è la tensione continua che produrrebbe lo stesso effetto termico su una resistenza. È il valore che leggono i multimetri, ed è quello che si intende quando si dice “la rete è a 230 V”.

Quando un dato è dato senza specificare, in elettrotecnica si intende il valore efficace. I 230 V di casa sono efficaci: il picco vale $230 \cdot \sqrt2 \approx 325$ V, e il picco-picco 650 V.

È il motivo per cui i condensatori di un alimentatore vanno scelti per la tensione di picco, non per quella nominale.

Lo sfasamento

Quando due sinusoidi hanno la stessa frequenza ma partono in momenti diversi, si dice che sono sfasate. La differenza $\varphi$ fra le loro fasi è ciò che, nei circuiti, distingue una resistenza da un condensatore o da un induttore — e da lì nasce tutto il resto.

Esercizio. Una tensione alternata ha valore efficace $V_{eff} = 230\ \text{V}$ e frequenza $50\ \text{Hz}$ .

Calcola il valore di picco e il picco-picco.
Calcola periodo e pulsazione.
Scrivi l’espressione $v(t)$ supponendo fase iniziale nulla.

Mostra la soluzione

Punto 1. Dal valore efficace al picco si moltiplica per $\sqrt2$ :

V_p = 230 \cdot \sqrt2 \approx 325\ \text{V} \qquad\qquad V_{pp} = 2 \cdot 325 = 650\ \text{V}

Punto 2.

T = \frac{1}{f} = \frac{1}{50} = 0{,}02\ \text{s} = 20\ \text{ms}

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \approx 314\ \text{rad/s}

Punto 3. Nell’espressione istantanea va il valore di picco, non l’efficace:

v(t) = 325\,\sin(314\,t)

Verifica. Controlla il verso della conversione: il picco deve essere più grande dell’efficace ( $325 > 230$ ) ✓. Se ti viene più piccolo hai diviso invece di moltiplicare.