Il partitore di corrente — filoconduttore

Il partitore di tensione dice come si divide la tensione fra resistenze in serie. Il partitore di corrente risponde alla domanda gemella: come si divide la corrente fra due rami in parallelo.

Due resistenze in parallelo: la corrente totale entra nel nodo e si divide in i_A e i_B

La formula

i_A = i_{tot}\,\frac{R_B}{R_A + R_B} \qquad\qquad i_B = i_{tot}\,\frac{R_A}{R_A + R_B}

Guarda bene i pedici: per calcolare la corrente in $R_A$ al numeratore compare $R_B$ , cioè la resistenza dell’altro ramo.

È qui che si sbaglia, perché il partitore di tensione funziona al contrario:

\underbrace{V_A = V_{tot}\,\frac{R_A}{R_A + R_B}}_{\text{tensione: la \textbf{propria} resistenza}} \qquad\neq\qquad \underbrace{i_A = i_{tot}\,\frac{R_B}{R_A + R_B}}_{\text{corrente: quella dell'\textbf{altro} ramo}}

Le due formule si somigliano troppo per fidarsi della memoria: conviene ricavarle dal senso fisico, che è opposto.

Perché la resistenza dell’altro ramo

Il ragionamento è breve, e vale più della formula:

i due rami sono in parallelo, quindi hanno la stessa tensione $V$ ai capi;
per la legge di Ohm, in ciascun ramo $i = V/R$ ;
quindi la corrente è inversamente proporzionale alla resistenza: dove c’è più resistenza passa meno corrente.

Se $R_A$ è grande, in $R_A$ passa poca corrente — e infatti nella sua formula $R_A$ sta al denominatore. Se invece è grande $R_B$ , il ramo $B$ è più ostico e la corrente si riversa su $A$ : ecco perché $R_B$ compare al numeratore di $i_A$ .

La corrente sceglie la via più facile, la tensione cade dove trova più resistenza.

Controllo in due secondi: se $R_A > R_B$ , allora deve venirti $i_A < i_B$ . Se ti viene il contrario, hai scambiato i numeratori.

Il caso limite utile

Se un ramo è un cortocircuito ( $R_B = 0$ ), la formula dà:

i_A = i_{tot}\,\frac{0}{R_A + 0} = 0

Tutta la corrente passa nel cortocircuito e in $R_A$ non ne passa più: è esattamente ciò che si intende quando si dice che un componente è “cortocircuitato”. La formula non fa eccezioni, descrive anche questo.

Esercizio. Una corrente totale di $6\ \text{A}$ arriva a un nodo dove si dividono due rami in parallelo, $R_A = 100\ \Omega$ e $R_B = 200\ \Omega$ .

Calcola $i_A$ e $i_B$ .
Verifica la prima legge di Kirchhoff.
Calcola la tensione ai capi del parallelo in due modi diversi.

Mostra la soluzione

Punto 1. Attenzione a quale resistenza va al numeratore:

i_A = 6 \cdot \frac{200}{100 + 200} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4\ \text{A}

i_B = 6 \cdot \frac{100}{300} = 6 \cdot \frac{1}{3} = 2\ \text{A}

La resistenza minore si prende la corrente maggiore ✓

Punto 2. Nel nodo entra $i_{tot}$ ed escono i due rami:

i_A + i_B = 4 + 2 = 6\ \text{A} = i_{tot} \;✓

Punto 3. Primo modo, sul ramo $A$ :

V = R_A\,i_A = 100 \cdot 4 = 400\ \text{V}

Secondo modo, con la resistenza equivalente del parallelo:

R_{eq} = \frac{100 \cdot 200}{300} \approx 66{,}7\ \Omega \qquad V = R_{eq}\,i_{tot} = 66{,}7 \cdot 6 = 400\ \text{V} \;✓

Verifica. I due modi devono dare lo stesso numero, ed è il controllo migliore: se non tornano, l’errore è nella ripartizione della corrente. Prova anche col ramo $B$ : $200 \cdot 2 = 400$ V ✓ — i rami in parallelo hanno la stessa tensione, per definizione.